Risoluzione max e minimi assoluti con vincoli
Buongiorno,
Non riesco bene a capire l’esercizio guida del testo di riferimento:
“Determina max e min assoluti di $z=x^2+y^2-2x-4y$ nell’insieme individuato dai seguenti vincoli:
$ { (x-3y+6>=0 ),( 3x+y-12<=0 ),( x>=0 ),( y>=0 ):} $
a questo punto rappresento i vincoli, trovo le parti di piano che mi rispettano le condizioni. Trovo pertanto un poligono convesso i cui vertici sono i punti di Max e minimo. Sostituisco i punti che ho trovato nella funzione e trovo Max e min.
Incrociando le varie rette avevo trovato i seguenti punti:
$A(0;2)$
$B(0;0)$
$C(4;0)$
$D(3;3)$
Il problema è che nei punti proposti dall’esercizio guida c’è anche $(1;0)$ ottenuto inserendo le equazioni delle rette dei vincolii (sarebbero da fare tutti) all’interno della funzione $z$ e calcolando poi la derivata prima studiandone successivamente il segno.
In altri esercizi sulla miglior combinazione economica dei fattori con relativi vincoli si trovavano solo i punti del poligono e tra questi c’erano Max e min. Perchè qui devo anche inserire ogni vincolo nella funzione? Non capisco questo ragionamento
Grazie mille
Non riesco bene a capire l’esercizio guida del testo di riferimento:
“Determina max e min assoluti di $z=x^2+y^2-2x-4y$ nell’insieme individuato dai seguenti vincoli:
$ { (x-3y+6>=0 ),( 3x+y-12<=0 ),( x>=0 ),( y>=0 ):} $
a questo punto rappresento i vincoli, trovo le parti di piano che mi rispettano le condizioni. Trovo pertanto un poligono convesso i cui vertici sono i punti di Max e minimo. Sostituisco i punti che ho trovato nella funzione e trovo Max e min.
Incrociando le varie rette avevo trovato i seguenti punti:
$A(0;2)$
$B(0;0)$
$C(4;0)$
$D(3;3)$
Il problema è che nei punti proposti dall’esercizio guida c’è anche $(1;0)$ ottenuto inserendo le equazioni delle rette dei vincolii (sarebbero da fare tutti) all’interno della funzione $z$ e calcolando poi la derivata prima studiandone successivamente il segno.
In altri esercizi sulla miglior combinazione economica dei fattori con relativi vincoli si trovavano solo i punti del poligono e tra questi c’erano Max e min. Perchè qui devo anche inserire ogni vincolo nella funzione? Non capisco questo ragionamento
Grazie mille
Risposte
"Marco1005":
Trovo pertanto un poligono convesso i cui vertici sono i punti di massimo e minimo.
Solo quando, non solo i vincoli, ma anche le curve di livello sono rette (programmazione lineare). Ad ogni modo, poichè:
$[z=x^2+y^2-2x-4y] rarr [z=(x-1)^2+(y-2)^2-5]$
le curve di livello sono circonferenze concentriche di centro:
$(1,2)$
A questo punto, premesso che il centro comune è un minimo assoluto, puoi concludere agevolmente tracciando le opportune circonferenze, quelle passanti per i vertici del poligono (papabili massimi assoluti) e quelle tangenti ai suoi lati (i punti di tangenza, se non coincidono con i vertici, sono minimi relativi solo se si considerano le rispettive restrizioni). Vero è che, se si richiedono solo gli estremanti assoluti, le seconde non sono necessarie.
ok grazie mille.
Quindi se la funzione non è lineare devo per forza, oltre ai vertici del poligono, considerare anche dove le circonferenze (in questo caso) toccano i lati del poligono convesso giusto?
Per toccano si intende solo tangenza o anche intersezione ?
Quindi se la funzione non è lineare devo per forza, oltre ai vertici del poligono, considerare anche dove le circonferenze (in questo caso) toccano i lati del poligono convesso giusto?
Per toccano si intende solo tangenza o anche intersezione ?
Prima di continuare, sei sicuro di aver compreso il motivo per cui, nel caso in cui i vincoli e le curve di livello della funzione siano lineari (programmazione lineare), i minimi e i massimi assoluti della funzione sono assunti in corrispondenza dei vertici del poligono? Convesso o concavo non ha alcuna rilevanza. Tra l'altro, volendo essere rigorosi, le curve di livello non devono essere rette parallele ad uno dei lati del poligono. Viceversa, i minimi e/o i massimi assoluti possono essere anche infiniti.
Allora non penso di riuscire a esprimermi in maniera matematica però provo con un ragionamento.
Una funzione lineare non è ne concava ne convessa, quindi non ha ne salite ne discese. Una funzione non lineare invece si, pertanto potrebbero esserci delle salite o delle discese in cui possono trovarsi punti di Max e minimo relativo che non necessariamente coincidono con i vertici del poligono ma comunque rientrano nella zona interna ammessa dai vincoli. Può andare?
Una funzione lineare non è ne concava ne convessa, quindi non ha ne salite ne discese. Una funzione non lineare invece si, pertanto potrebbero esserci delle salite o delle discese in cui possono trovarsi punti di Max e minimo relativo che non necessariamente coincidono con i vertici del poligono ma comunque rientrano nella zona interna ammessa dai vincoli. Può andare?
Intendevo l'interpretazione grafica associata ad un esercizio come quello sottostante:
in cui le curve di livello:
sono rette parallele e il valore costante assunto dalla funzione su ciascuna retta aumenta spostando la retta medesima dall'alto verso il basso (solo per fare un esempio). Si tratta del modo più intuitivo per comprendere che, necessariamente, il punto E è il minimo asoluto (la funzione vale -39) e il punto B è il massimo assoluto (la funzione vale 45).
$z=5x-8y+3$
in cui le curve di livello:
$5x-8y+3=k$
sono rette parallele e il valore costante assunto dalla funzione su ciascuna retta aumenta spostando la retta medesima dall'alto verso il basso (solo per fare un esempio). Si tratta del modo più intuitivo per comprendere che, necessariamente, il punto E è il minimo asoluto (la funzione vale -39) e il punto B è il massimo assoluto (la funzione vale 45).
Sì si la rappresentazione grafica delle linee di ilevello mi è chiara.
Più che altro ho un dubbio enorme su alcuni punti che ho trovato finendo l’esercizio.
Ad esempio quando inserisco la retta BC come vincolo all’interno della funzione $x-3y+6=0$ con $2<=y<=3$
Mi restituisce come punto $P(9/10;23/10)$ con $z=-49/10$ questo punto si trova tra $y=2$ e $y=3$
Il libro di testo mi etichetta quindi$(0;2)$ e $(3;3)$ come punti di massimo visto che l’altro è un minimo.
Il problema è che sostituendo invece la retta OC di equazione $x=0$ con $0<=y<=2$ si ottiene il punto $(0;2)$ che dallo studio del segno risulta un punto di minimo con $z=-4$
Ma il punto $(0;2)$ non era un punto di massimo 2 secondi fa? Perchè ora me lo etichetta di minimo?
Più che altro ho un dubbio enorme su alcuni punti che ho trovato finendo l’esercizio.
Ad esempio quando inserisco la retta BC come vincolo all’interno della funzione $x-3y+6=0$ con $2<=y<=3$
Mi restituisce come punto $P(9/10;23/10)$ con $z=-49/10$ questo punto si trova tra $y=2$ e $y=3$
Il libro di testo mi etichetta quindi$(0;2)$ e $(3;3)$ come punti di massimo visto che l’altro è un minimo.
Il problema è che sostituendo invece la retta OC di equazione $x=0$ con $0<=y<=2$ si ottiene il punto $(0;2)$ che dallo studio del segno risulta un punto di minimo con $z=-4$
Ma il punto $(0;2)$ non era un punto di massimo 2 secondi fa? Perchè ora me lo etichetta di minimo?
"Marco1005":
... quando inserisco la retta BC come vincolo all’interno della funzione ...
Non ho ancora capito come intendi procedere. Se intendi procedere graficamente mediante la geometria analitica, le restrizioni non sono necessarie. Il minimo assoluto è il centro comune delle circonferenze e il massimo assoluto è il vertice del poligono avente la massima distanza dal centro comune medesimo. Inoltre, tracciare le circonferenze tangenti ai lati del poligono non è necessario. I punti di tangenza, se diversi dai vertici, non sono estremanti assoluti. Sono estremanti assoluti (minimi assoluti) solo se si considerano le restrizioni relative a ciascun lato. Tuttavia, la consegna richiede gli estremanti assoluti considerando il poligono nel suo complesso. Insomma, meglio chiarire.
P.S.
Per quanto riguarda la restrizione sul lato sinistro:
Minimo assoluto
$(0,2)$
Massimo assoluto
$(0,0)$
Per quanto riguarda la restrizione sul lato superiore:
Minimo assoluto
$(9/10,23/10)$
Massimo assoluto
$(3,3)$
Massimo relativo
$(0,2)$
Tuttavia, ha senso solo considerando le singole restrizioni indipendenti l'una dall'altra.
Grazie per la risposta. Allora io devo procedere solo per via algebrica. Ma perchè dici che il centro è sempre un minimo? Dipende da come è girato il “cono” no?. In più il punto $(0;2)$ come fa ad essere sia minimo che massimo? È questo che non capisco
"Marco1005":
Ma perchè dici che il centro è sempre un minimo ...
Mi stavo riferendo all'esercizio proposto. Basta cambiare il segno della funzione e diventa un massimo. Ad ogni modo, il grafico della funzione in tre dimensioni non è un cono, piuttosto, un paraboloide ellittico.
"Marco1005":
In più il punto ...
Immagina che la funzione sia la temperatura valutata sul segmento che unisce Firenze a Roma e sul segmento che unisce Roma a Napoli. Se, sul primo segmento, la temperatura aumenta da Firenze a Roma, sul secondo segmento, la temperatura aumenta da Roma a Napoli, Roma è un massimo sul primo segmento e un minimo sul secondo. Insomma, dipende dalla restrizione che si considera.
Ok ok chiaro, quindi in teoria l’esercizio non dovrebbe propormi tra le soluzioni qualcosa che è “borderline”, nel senso non saprei se quel valore vada in conflitto con eventuali massimi o minimi assoluti. Di fatto poi non rientra nelle soluzioni finali ne come Max assoluto ne come minimo assoluto
"Marco1005":
Non riesco bene a capire l’esercizio guida del testo di riferimento ...
Se la strategia risolutiva dell'esercizio guida è analizzare, prima i punti interni, poi i punti di frontiera mediante quattro restrizioni, nulla da eccepire. Vero è che, mediante le curve di livello e la geometria analitica, almeno in questo caso la seconda strategia è di gran lunga più immediata.
"Noodles":
[quote="Marco1005"]
Non riesco bene a capire l’esercizio guida del testo di riferimento ...
Se la strategia risolutiva dell'esercizio guida è analizzare, prima i punti interni, poi i punti di frontiera mediante quattro restrizioni, nulla da eccepire. Vero è che, mediante le curve di livello e la geometria analitica, almeno in questo caso la seconda strategia è di gran lunga più immediata.[/quote]
Concordo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo