Risoluzione limite con teorema di confronto

[marcus1121]

dato il

$lim_(x->+oo)cosx/x$ non posso usare il teorema: limite del quoziente di due funzioni perchè
$lim_(x->+oo)cosx$ non esiste; per cui ho ragionato così:
$cosx>=-1$
moltiplicando i due membri per $1/x$
ottengo
$ cosx/x >= -1/x $
che si può scrivere nella forma
$| cosx/x| >=| -1/x| $
Poichè per il terzo teorema del confronto
$lim_(x->+oo)-1/x=0$ risulta che

$lim_(x->+oo)cosx/x=0$
Chiedo un vostro parere e se ci sono altri modi per ottenere il risultato più facilmente
Grazie per la collaborazione

[marcus1121]

Tu hai usato il primo teorema e io il terzo, per cui penso che il mio vada anche bene..
chiedo conferma...

[Gi81]

"marcus112":$ cosx/x >= -1/x $
che si può scrivere nella forma
$| cosx/x| >=| -1/x| $

Questo è un errore.

Non è vero che $a>=b => |a|>= |b|$. Prendi $a= 1 $ e $b= -10$.

[marcus1121]

Tu scrivi che \( \left| \frac{\cos x}{x} \right| \ge \left| - \frac{1}{x} \right| \) che non è affatto vero dato che la disuguaglianza corretta è esattamente quella opposta !
Ma da dove si capisce che è l'opposta?

[Gi81]

Ma avete letto quello che ho scritto?

[marcus1121]

Non è vero che $a>=b => |a|>= |b|$. Prendi $a= 1 $ e $b= -10$
Ho capito quello che vuoi dire ma mi restano.... comunque dubbi.
Come si deve procedere secondo te per risolvere il limite con il terzo teorema del confronto

[marcus1121]

1. per definizione di valore assoluto \(\left| - \frac{1}{x} \right| = \left| \frac{1}{x} \right|\) ;
2. inoltre ricorda che \(|\cos x|\in[0,\; 1]\) ;
3. ora non dovrebbe essere difficile capire che \(\left| \frac{\cos x}{x} \right| \le \left| \frac{1}{x} \right|\)

A parte quello che hai scritto....ho notato graficamente che in valore assoluto $cosx/x<1/x$
E' giusto quello che dico..

[giammaria2]

Perché tirare in ballo il valore assoluto? Si ha $-1<=cosx<=1$; $x$ sta tendendo a $+oo$ quindi è positivo, perciò possiamo dividere per $x$. Otteniamo $-1/x<=cosx/x<=1/x$ ed ora applichiamo il teorema del confronto.
Certo, col valore assoluto si considera insieme anche il caso $x-> -oo$, ma mi sembra meno faticoso farlo a parte (oltre a tutto, non era richiesto)