Risoluzione limite
Salve,
volevo chiedervi come si risolve questo limite $ lim sqrt(2x^2+x+1)*log(1+cos (3/x))-sqrt2*(x)*log2 $ per x--> + inf.
ho provato in tutti i modi ma non ci riesco
.
Grazie anticipatamente
volevo chiedervi come si risolve questo limite $ lim sqrt(2x^2+x+1)*log(1+cos (3/x))-sqrt2*(x)*log2 $ per x--> + inf.
ho provato in tutti i modi ma non ci riesco
.Grazie anticipatamente
Risposte
Buonasera 
Sei sulla buona strada.
Guardando la funzione c'è un \(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\) per \(x \to 0\), il coseno oscilla tra \(-1\) e \(1\), quindi il logaritmo oscillerà tra \(-\infty\) e \(\ln 2\) per cui il limite è indeterminato
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Edit.
come mi ha fatto notare Seneca(che ringrazio), il limite è per \(x \to \infty\) e non \(0\)(chiedo venia).
Detto questo si ha che il coseno tende a \(1\) e il logaritmo a \(\ln 2\), inoltre la radice del primo addendo tende asintoticamente a \(\sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2}}\) quindi facendo i calcoli il risultato dovrebbe essere \(\frac{\ln 2}{2 \sqrt{2}}\) e il limite è determinato.
P.S. se non puoi usare i polinomi di taylor potresti moltiplicare e dividere l'espressione per \(\sqrt{2x^2 + x + 1} \ln \left(1 + \cos \frac{3}{x}\right) + \sqrt{2} \ln 2 x\) e svolgere i calcoli(in questo modo se ne va la radice, si semplifica il primo termine, fai qualche altra semplificazione e arrivi allo stesso risultato di prima).
"frnero":
Salve,
ho provato in tutti i modi ma non ci riesco
Sei sulla buona strada.
Guardando la funzione c'è un \(\cos\left(\frac{3}{x}\right)\) per \(x \to 0\), il coseno oscilla tra \(-1\) e \(1\), quindi il logaritmo oscillerà tra \(-\infty\) e \(\ln 2\) per cui il limite è indeterminato
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Edit.
come mi ha fatto notare Seneca(che ringrazio), il limite è per \(x \to \infty\) e non \(0\)(chiedo venia).
Detto questo si ha che il coseno tende a \(1\) e il logaritmo a \(\ln 2\), inoltre la radice del primo addendo tende asintoticamente a \(\sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2}}\) quindi facendo i calcoli il risultato dovrebbe essere \(\frac{\ln 2}{2 \sqrt{2}}\) e il limite è determinato.
P.S. se non puoi usare i polinomi di taylor potresti moltiplicare e dividere l'espressione per \(\sqrt{2x^2 + x + 1} \ln \left(1 + \cos \frac{3}{x}\right) + \sqrt{2} \ln 2 x\) e svolgere i calcoli(in questo modo se ne va la radice, si semplifica il primo termine, fai qualche altra semplificazione e arrivi allo stesso risultato di prima).
Le oscillazioni sono il metodo peggiore se si vuole risolvere un limite! Applicare qualche limite notevole? Tipo
$$\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2},\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$$
applicando prima la sostituzione $t=\frac{1}{x}$?
$$\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2},\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$$
applicando prima la sostituzione $t=\frac{1}{x}$?
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