Risoluzione integrale indefinito senza utilizzo di sostituzioni o funzioni trigonometriche

[popetto1]

Buongiorno a tutti,
scrivo per cercare la soluzione ad un integrale indefinito che proprio non riesco a risolvere avevo già trovato una soluzione navigando ma lo scopo è tentarne la risoluzione mediante gli strumenti propri del calcolo di un integrale razionale indefinito. L'integrale è il seguente:
$\int \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}$

Ho già provato a percorrere qualche strada ma mi sembra piuttosto difficile affrontarlo. Avevo già provato a scriverlo in questa forma:
$\int \frac{Ax+B}{x^2+1}+\int \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2}$
ma a poco è servito.

Se avete qualche idea è ben accetta. Grazie!

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

\[ \frac{1}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2+1+x^2}{2(1+x^2)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{1}{1+x^2}\right) \]
Quindi
\[ \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2} dx \]

[gugo82]

Beh, scusa, detto $I$ il tuo integrale, hai:

$I = \int 1/(1+x^2)\ "d"x - int x\cdot x/(1+x^2)^2\ "d" x$

col primo addendo immediato ed il secondo che si integra per parti.