Risoluzione (fallita) di un'equazione con le radici
Buongiorno, sto trovando difficoltà con la risoluzione di questo esercizio:
$sqrt{x^2-4}$ $sqrt{x-2}$ = $(x-2)$ $sqrt{x+2}$
Io per tentare di risolverlo ho fatto le condizioni d'esistenza delle radici e poi le ho messe a sistema:
$\{(x^2-4 >= 0),(x>=2),(x>=-2):}$
La soluzione del sistema mi viene dunque $x>=2$ (che poi dovrebbe essere il risultato dell'esercizio).
Poi ho provato a elevare ambo i membri alla seconda per poter togliere le radici, ma non mi tornano i calcoli e non capisco perché il risultato di quest'equazione è una disequazione.
Grazie dell'eventuale aiuto.
PS: ho deciso di postare in questa sezione perché è un esercizio da superiori, ma sono una matricola del primo anno... ahimè
$sqrt{x^2-4}$ $sqrt{x-2}$ = $(x-2)$ $sqrt{x+2}$
Io per tentare di risolverlo ho fatto le condizioni d'esistenza delle radici e poi le ho messe a sistema:
$\{(x^2-4 >= 0),(x>=2),(x>=-2):}$
La soluzione del sistema mi viene dunque $x>=2$ (che poi dovrebbe essere il risultato dell'esercizio).
Poi ho provato a elevare ambo i membri alla seconda per poter togliere le radici, ma non mi tornano i calcoli e non capisco perché il risultato di quest'equazione è una disequazione.
Grazie dell'eventuale aiuto.
PS: ho deciso di postare in questa sezione perché è un esercizio da superiori, ma sono una matricola del primo anno... ahimè
Risposte
Benvenuto al forum e in bocca al lupo con gli studi universitari.
Se avessi cose come (es.) $5=5$ la soluzione sarebbe $\forall x \in \RR$, a guardarla credo si tratti di un caso simile.
Se prendiamo la tua
$ \sqrt(x^2-4) sqrt(x-2) = (x-2) \sqrt(x+2)$
notiamo che è - non è necessario, questo passaggio lo scrivo perché sono fissato con le scomposizioni
$\sqrt((x-2)^2(x+2)) = (x-2)\sqrt(x+2)$
cosa succede elevando ambo i membri al quadrato?
"SimoneSc":
La soluzione del sistema mi viene dunque $x>=2$ (che poi dovrebbe essere il risultato dell'esercizio). [...] non capisco perché il risultato di quest'equazione è una disequazione.
Se avessi cose come (es.) $5=5$ la soluzione sarebbe $\forall x \in \RR$, a guardarla credo si tratti di un caso simile.
Se prendiamo la tua
$ \sqrt(x^2-4) sqrt(x-2) = (x-2) \sqrt(x+2)$
notiamo che è - non è necessario, questo passaggio lo scrivo perché sono fissato con le scomposizioni
$\sqrt((x-2)^2(x+2)) = (x-2)\sqrt(x+2)$
cosa succede elevando ambo i membri al quadrato?
$sqrt{x^2-4}$ $sqrt{x-2}$ = $(x-2)$ $sqrt{x+2}$
$sqrt{x+2}* sqrt{x-2}* sqrt(x-2) = (x-2)* sqrt{x+2}$
$sqrt{x-2}* sqrt(x-2) = (x-2)$
$sqrt{x+2}* sqrt{x-2}* sqrt(x-2) = (x-2)* sqrt{x+2}$
$sqrt{x-2}* sqrt(x-2) = (x-2)$
"axpgn":
$sqrt{x-2}* sqrt(x-2) = (x-2)$
Era per dare un po' di suspense.
(Ciao Alex!)
Ciao
Innanzitutto grazie mille della risposta e dell'in bocca al lupo!
Elevando entrambi i membri al quadrato ci ritroviamo con: $(x-2)^2 (x+2) = (x-2)^2(x+2)$ . Dunque è un'identità e come nel caso da lei proposto la soluzione è $AAx$ $inRR$ purché rispetti le C.E.
Mentre scrivo mi sono accorto che anche un altro utente ha risposto, grazie mille anche lei. Buona giornata a tutti quanti e grazie ancora dell'aiuto
Elevando entrambi i membri al quadrato ci ritroviamo con: $(x-2)^2 (x+2) = (x-2)^2(x+2)$ . Dunque è un'identità e come nel caso da lei proposto la soluzione è $AAx$ $inRR$ purché rispetti le C.E.
Mentre scrivo mi sono accorto che anche un altro utente ha risposto, grazie mille anche lei. Buona giornata a tutti quanti e grazie ancora dell'aiuto
Prego e, se vuoi, sul forum in genere ci si dà del tu tra utenti.
Detto in altre parole, in genere facciamo così, se non vuoi diccelo e ti daremo anche noi del lei.
Detto in altre parole, in genere facciamo così, se non vuoi diccelo e ti daremo anche noi del lei.
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