Risoluzione equazione polinomiale

[Gianni Trattore]

Non riesco a risolvere questa equazione
$(−x^2 + 2x − 1)^3 = (−x^2 + 2x − 1)^5$
ho provato a dividere per il polinomio stesso ponendo l'opportuna condizione di esistenza cosi' da avere
$(−x^2 + 2x − 1)^2 = 1$
e quindi
$−x^2 + 2x − 1 = 1$
ottenendo pero' un delta negativo.
I risultati dovrebbero essere [0; 1; 2]

[@melia]

Quando l'insegnante insiste che NON si deve dividere per 0, non significa che pensa "i miei studenti non riconoscono la cifra 0 e quanche volta la mettono come divisore". Significa che non puoi dividere per qualcosa che contiene l'incognita e che, in particolari condizioni, può valere 0.

Nell'esercizio che hai proposto NON puoi dividere per $(-x^2+2x-1)$, perché potrebbe valere 0
$ (−x^2 + 2x − 1)^3 = (−x^2 + 2x − 1)^5 $ si porta tutto a primo membro
$ (−x^2 + 2x − 1)^3 - (−x^2 + 2x − 1)^5=0 $ si raccoglie a fattor comune
$(−x^2 + 2x − 1)^3[1-(−x^2 + 2x − 1)^2]=0$ ti faccio osservare che dentro quadra c'è una differenza di quadrati
$(−x^2 + 2x − 1)^3(1−x^2 + 2x − 1)(1+x^2 - 2x +1)=0$
annullando ogni singolo fattore ottieni dal primo $x=1$, dal secondo $x=0$ e $x=2$, mentre il terzo ha il discriminante negativo. C'è anche una via più rapida, ma non volevo infierire.

[Zero87]

Approfitto della presenza dell'insegnante @melia - che saluto - per mettermi un po' in mezzo in senso buono. Lei che attualmente insegna può smentirmi oppure darmi la possibilità di spiegarmi meglio - io sono uscito dallo scientifico nel 2006, troppa acqua è passata sotto i ponti.

Quando ero al liceo ci avevano insegnato una via "intermedia" tra le vostre due risposte ovvero divido per il termine $-x^2+2x-1$ dopo aver visto se porlo uguale a zero dà delle soluzioni all'equazione di partenza.
Nel senso che prima vedo quando il termine per cui divido si annulla, poi vedo se i valori per cui si annulla sono delle soluzioni: se lo sono li tengo da parte e poi proseguo escludendoli dal dominio e dividendo, se non lo sono divido e basta senza fare condizioni di esistenza.

Nel tuo caso, Gianni, c'è anche un errore qui

"Gianni Trattore":$ (−x^2 + 2x − 1)^2 = 1 $
e quindi
$ −x^2 + 2x − 1 = 1 $

poiché quando estrai la radice in entrambi i membri hai
$ −x^2 + 2x − 1 = \pm 1 $
ovvero due equazioni distinte da risolvere. La potenza ha indice pari.

Chiedo scusa se non sono stato rigoroso nella spiegazione, a quest'ora dopo una giornata lavorativa perdo un po' di lucidità.

[@melia]

Il ragionamento che hai fatto è esattamente lo stesso che raccogliere il fattore e metterlo uguale a zero, è solo un po' più "artigianale", ma è assolutamente corretto.

[Gianni Trattore]

Grazie mille, 3 mesi di pausa dalla matematica mi hanno fatto dimenticare qualunque cosa abbia imparato dalla 1a media, le vostre delucidazioni sono state particolarmente utili!