Risoluzione equazione con valori assoluti
Data l'equazione:
$|x+|x-1||+3|1-x|=x $ ho pensato di risolverla così:
Studiamo il segno di ciascun argomento dei moduli e costruiamo la
tabella nella quale riportiamo la loro variazione:
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$1 - x >= 0 -> -x >= -1 -> x <= 1$
Dal grafico risultano due sistemi:
Primo sistema:
$x <= 1$
$x - x + 1 + 3 - 3x = x -> x = 1$
$1 <= 1$
Vero.
Il primo sistema è verificato per $x = 1$
Secondo sistema:
$x >= 1$
$x + x - 1 - 3 + 3x = x -> x = 1$
$1 >= 1$
Vero.
Il secondo sistema è verificato per $x = 1$
L'equazione di partenza ha per soluzione dunque $x = 1$
Secondo voi è giusto il procedimento ho potevo fare diversamente?
$|x+|x-1||+3|1-x|=x $ ho pensato di risolverla così:
Studiamo il segno di ciascun argomento dei moduli e costruiamo la
tabella nella quale riportiamo la loro variazione:
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$1 - x >= 0 -> -x >= -1 -> x <= 1$
Dal grafico risultano due sistemi:
Primo sistema:
$x <= 1$
$x - x + 1 + 3 - 3x = x -> x = 1$
$1 <= 1$
Vero.
Il primo sistema è verificato per $x = 1$
Secondo sistema:
$x >= 1$
$x + x - 1 - 3 + 3x = x -> x = 1$
$1 >= 1$
Vero.
Il secondo sistema è verificato per $x = 1$
L'equazione di partenza ha per soluzione dunque $x = 1$
Secondo voi è giusto il procedimento ho potevo fare diversamente?
Risposte
Mi sembra giusto. Hai trascurato il valore assoluto che contiene $x+|x-1|$; effettivamente è trascurabile, ma dovresti spiegare perché.
$|x+|x-1||+3|1-x|=x $
Per non trascurare nulla si poteva anche risolvere così:
$|x+x-1|+3|1-x|=x $
$|2x-1||+3|1-x|=x $
Si studia il segno di ciascun argomento dei moduli e si costruisce la
tabella nella quale riportare la loro variazione.
Si ottengono così tre sistemi che non metto. Uno di questi sistemi è verificato per $x=1$
Poi si ricavava:
$|x-x+1||+3|1-x|=x $
$|1|+3|1-x|=x $
Si ottengono così due sistemi che non metto. Uno di questi sistemi è verificato per $x=1$
Alla fine l'equazione di partenza risulta verificata per $x=1$
Chiedo se secondo te la risoluzione è più completa, nel senso che in questo caso non è
stato trascurato nulla.
Grazie per i chiarimenti.
Per non trascurare nulla si poteva anche risolvere così:
$|x+x-1|+3|1-x|=x $
$|2x-1||+3|1-x|=x $
Si studia il segno di ciascun argomento dei moduli e si costruisce la
tabella nella quale riportare la loro variazione.
Si ottengono così tre sistemi che non metto. Uno di questi sistemi è verificato per $x=1$
Poi si ricavava:
$|x-x+1||+3|1-x|=x $
$|1|+3|1-x|=x $
Si ottengono così due sistemi che non metto. Uno di questi sistemi è verificato per $x=1$
Alla fine l'equazione di partenza risulta verificata per $x=1$
Chiedo se secondo te la risoluzione è più completa, nel senso che in questo caso non è
stato trascurato nulla.
Grazie per i chiarimenti.
Potete controllare questo procedimento…ho cercato di risolverla in diversi modi.
$|x + |x - 1|| + 3|1 - x| = x$
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$1 - x >= 0 -> x <= 1$
Otteniamo:
$|x + x - 1| + 3 - 3x = x$
$|2x - 1| + 3 - 3x = x$
Studiamo adesso il segno dell'argomento del modulo $2x -1$
$2x - 1 >= 0 -> 2x >= 1 -> x >= 1/2$
$2x - 1 < 0 -> x < 1/2$
Primo sistema.
$x >= 1/2 $
$2x - 1 + 3 - 3x = x -> x = 1$
$1 >=1/2$
Vero.
Secondo sistema.
$x < 1/2$
$- 2x + 1 + 3 - 3x = x -> x = 2/3$
$ 2/3 <1/2$
Falso.
La prima disequazione ottenuta da quella di partenza ha soluzione $S = {1}$
La soluzione $x = 1$ per le condizioni $x>=1vv x <= 1$ è soluzione
della disequazione di partenza.
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$1 - x < 0 -> x > 1$
Otteniamo:
$|x - x + 1| - 3 + 3x = x$
$|1| - 3 + 3x = x$
$3x - x = 3 - 1 -> x = 1$
La seconda disequazione ottenuta da quella di partenza ha soluzione $S = {1}$
La soluzione $x = 1$ per le condizioni $x > 1 vv x < 1$ non è soluzione
della disequazione di partenza.
La disequazione considerata pertanto ha soluzione $S = {1}$
$|x + |x - 1|| + 3|1 - x| = x$
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$1 - x >= 0 -> x <= 1$
Otteniamo:
$|x + x - 1| + 3 - 3x = x$
$|2x - 1| + 3 - 3x = x$
Studiamo adesso il segno dell'argomento del modulo $2x -1$
$2x - 1 >= 0 -> 2x >= 1 -> x >= 1/2$
$2x - 1 < 0 -> x < 1/2$
Primo sistema.
$x >= 1/2 $
$2x - 1 + 3 - 3x = x -> x = 1$
$1 >=1/2$
Vero.
Secondo sistema.
$x < 1/2$
$- 2x + 1 + 3 - 3x = x -> x = 2/3$
$ 2/3 <1/2$
Falso.
La prima disequazione ottenuta da quella di partenza ha soluzione $S = {1}$
La soluzione $x = 1$ per le condizioni $x>=1vv x <= 1$ è soluzione
della disequazione di partenza.
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$1 - x < 0 -> x > 1$
Otteniamo:
$|x - x + 1| - 3 + 3x = x$
$|1| - 3 + 3x = x$
$3x - x = 3 - 1 -> x = 1$
La seconda disequazione ottenuta da quella di partenza ha soluzione $S = {1}$
La soluzione $x = 1$ per le condizioni $x > 1 vv x < 1$ non è soluzione
della disequazione di partenza.
La disequazione considerata pertanto ha soluzione $S = {1}$
Nella penultima soluzione, nel passaggio da $|x+|x-1||+3|1-x|=x $ a $|x+x-1|+3|1-x|=x $ dai per scontato che sia $x>=1$, e non puoi farlo prima di aver suddiviso in vari casi. L'ultima soluzione è piuttosto caotica; confesso che mi è scappata la voglia di leggerla con attenzione, ma direi che anche qui fai lo stesso errore. La soluzione migliore mi sembra la prima che hai dato; basta aggiungere che il termine $x+|x-1|$
- nel caso $x<=1$ vale 1, positivo;
- nel caso $x>=1$ è positivo perché somma di due numeri positivi.
- nel caso $x<=1$ vale 1, positivo;
- nel caso $x>=1$ è positivo perché somma di due numeri positivi.
Partiamo dall'ultima soluzione per capirci meglio...penso di non aver trascurato nulla perchè all'inizio
studio i segni degli argomenti dei moduli:
$x-1>=0->x>=1$
$1-x>=0->x<=1$
poi ottengo:
$|x + x - 1| + 3 - 3x = x$ Quindi il modulo di cui parli non è trascurato.
$|2x - 1| + 3 - 3x = x$
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$1 - x < 0 -> x > 1$
Otteniamo:
$|x - x + 1| - 3 + 3x = x$ Quindi il modulo di cui parli non è trascurato.
$|1| - 3 + 3x = x$
$3x - x = 3 - 1 -> x = 1$
Non so se tu intendessi questo.
Grazie sempre per le delucidazioni.
studio i segni degli argomenti dei moduli:
$x-1>=0->x>=1$
$1-x>=0->x<=1$
poi ottengo:
$|x + x - 1| + 3 - 3x = x$ Quindi il modulo di cui parli non è trascurato.
$|2x - 1| + 3 - 3x = x$
Studiamo i segni degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$1 - x < 0 -> x > 1$
Otteniamo:
$|x - x + 1| - 3 + 3x = x$ Quindi il modulo di cui parli non è trascurato.
$|1| - 3 + 3x = x$
$3x - x = 3 - 1 -> x = 1$
Non so se tu intendessi questo.
Grazie sempre per le delucidazioni.
"marcus112":Quello che non mi convince è il passaggio segnato in rosso; forse intendevi quello che io ho aggiunto in arancione, ma non l'hai scritto.
Partiamo dall'ultima soluzione per capirci meglio...penso di non aver trascurato nulla perchè all'inizio
studio i segni degli argomenti dei moduli:
Caso di $x-1>=0->x>=1$; $1-x>=0->x<=1$
poi ottengo
$|x + x - 1| + 3 - 3x = x$ Quindi il modulo di cui parli non è trascurato.
$|2x - 1| + 3 - 3x = x$
Forse ho capito quello che dici:
studiando gli argomenti dei moduli:
$x-1>=0->x>=1$
$1-x>=0->x<=1$
Premetto che non sto usando il solito schema per ottenere i casi...
arrivo alla condizione o caso di $x-1>=1 vvx<=1$ che è equivalnte risolvendo il sistema a $x=1$ che io non ho scritto.E' questo che intendevi?
L''equazione che tu hai scritto in rosso ha soluzione $x=1$ pertanto per la condizione $x=1$ è soluzione dell'equazione di partenza.
Andando aventi troviamo quello che tu chiameresti caso di $x<1vvx>1$.
Anche questa volta l'equazione ha soluzione $x=1$ ma per la condizione $x<1vvx>1$ ,che è un sistema vuoto, non è soluzione dell'equazione di partenza.
Quindi alla fine ottengo come soluzione dell'equazione di partenza $x=1$.
Spero di essere stato chiaro.
studiando gli argomenti dei moduli:
$x-1>=0->x>=1$
$1-x>=0->x<=1$
Premetto che non sto usando il solito schema per ottenere i casi...
arrivo alla condizione o caso di $x-1>=1 vvx<=1$ che è equivalnte risolvendo il sistema a $x=1$ che io non ho scritto.E' questo che intendevi?
L''equazione che tu hai scritto in rosso ha soluzione $x=1$ pertanto per la condizione $x=1$ è soluzione dell'equazione di partenza.
Andando aventi troviamo quello che tu chiameresti caso di $x<1vvx>1$.
Anche questa volta l'equazione ha soluzione $x=1$ ma per la condizione $x<1vvx>1$ ,che è un sistema vuoto, non è soluzione dell'equazione di partenza.
Quindi alla fine ottengo come soluzione dell'equazione di partenza $x=1$.
Spero di essere stato chiaro.
Quello che non capisco è perché metti a sistema le disequazioni $x-1>=0$ e $1-x>=0$. In primo luogo, si riferiscono sostanzialmente allo stesso polinomio, quindi dalla soluzione di una delle due si deduce subito quella dell'altra: inutile risolverle entrambe. Inoltre, se anche fossero stati due polinomi diversi, perchè chiedere che siano entrambe vere o entrambe false? Se, per esempio, l'equazione iniziale fosse stata $|x+|x-1||+3|2-x|=x$, per x non compreso fra 1 e 2 le disequazioni $x-1>0$ e $2-x>0$ sarebbero state una vera e una falsa. Forse puoi spiegarmi il tuo ragionamento riferendoti all'ultima equazione che ho scritto.
Quello che non capisco è perché metti a sistema le disequazioni $x-1>=0$ e $1-x>=0$. E' stata una forte distrazione...non vanno a sistema.
Ho provato a risolvere la tua ultima disequazione:
$|x + |x - 1|| + 3|2 - x| = x$
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli.
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$2 - x >= 0 -> x <= 2$
Caso $x >= 1 vv x <= 2$
Ricaviamo l'equazione:
$|x + x - 1| + 6 - 3x = x$
$|2x - 1| + 6 - 3x = x$
Studiamo l'argomento del modulo.
$2x - 1 >= 0 -> x >= 1/2$
$2x - 1 < 0 -> x < 1/2$
Primo sistema.
$x >= 1/2$
$2x - 1 + 6 - 3x = x -> x = 5/2$
$5/2>=1/2$
Accettabile.
Secondo sistema.
$x<1/2$
$- 2x + 1 + 6 - 3x = x -> x = 7/6$
$7/6<1/2$
Non accettabile.
La soluzione dell'equazione $x = 5/2$ non soddisfa il caso $x <= 2 vv x >= 1$.
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$2 - x < 0 -> x > 2$
Caso $x < 1 vv x > 2$
Ricaviamo l'equazione:
$|x - x + 1| - 6 + 3x = x$
$|1| - 6 + 3x = x -> x = 5/2 $
La soluzione dell'equazione $x = 5/2$ non soddisfa il caso $x > 2 vv x < 1$.
L'equazione non ha soluzione.
Ho provato a risolvere la tua ultima disequazione:
$|x + |x - 1|| + 3|2 - x| = x$
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli.
$x - 1 >= 0 -> x >= 1$
$2 - x >= 0 -> x <= 2$
Caso $x >= 1 vv x <= 2$
Ricaviamo l'equazione:
$|x + x - 1| + 6 - 3x = x$
$|2x - 1| + 6 - 3x = x$
Studiamo l'argomento del modulo.
$2x - 1 >= 0 -> x >= 1/2$
$2x - 1 < 0 -> x < 1/2$
Primo sistema.
$x >= 1/2$
$2x - 1 + 6 - 3x = x -> x = 5/2$
$5/2>=1/2$
Accettabile.
Secondo sistema.
$x<1/2$
$- 2x + 1 + 6 - 3x = x -> x = 7/6$
$7/6<1/2$
Non accettabile.
La soluzione dell'equazione $x = 5/2$ non soddisfa il caso $x <= 2 vv x >= 1$.
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli.
$x - 1 < 0 -> x < 1$
$2 - x < 0 -> x > 2$
Caso $x < 1 vv x > 2$
Ricaviamo l'equazione:
$|x - x + 1| - 6 + 3x = x$
$|1| - 6 + 3x = x -> x = 5/2 $
La soluzione dell'equazione $x = 5/2$ non soddisfa il caso $x > 2 vv x < 1$.
L'equazione non ha soluzione.
Benissimo, a parte la scritta $x>=1 vv x<=2$, in cui dovevi porre l'intersezione e non l'unione; potevi abbreviarla con $1<=x<=2$. Sapendo inoltre che $x$ era in quell'intervallo, era inutile considerare il caso $x<1/2$.
C'è un modo più semplice che mi potresti far vedere...per risolvere questo tipo di disequazioni con
i valori assoluti inclusi uno nell'altro come quella di prima!?
Io ho un grosso dubbio...ho provato a risolvere l'equazione:
$| |x -2 |-|x - 4|| = x$ con lo stesso metodo analizzando prima il caso o condizione:
$x - 2 >= 0 -> x >= 2$
$x - 4 >= 0 -> x >= 4$
Arriviamo quindi al caso: $x>=2^^x>=4$
ed ottengo l'equazione:
$|x - 2 - x + 4| = x$
$|2| = x -> x = 2$
Ill risultato $x=2$ non dovrebbe soddisfare la condizione sopra esposta ma è soluzione dell'equazione di partenza.
In quella di prima infatti $x=5/2$ non soddisfava il caso: $x >= 1 ^^ x <= 2$ ma in questo caso non era soluzione
della disequazione di partena.
C'è qualcosa che non torna.
Grazie
i valori assoluti inclusi uno nell'altro come quella di prima!?
Io ho un grosso dubbio...ho provato a risolvere l'equazione:
$| |x -2 |-|x - 4|| = x$ con lo stesso metodo analizzando prima il caso o condizione:
$x - 2 >= 0 -> x >= 2$
$x - 4 >= 0 -> x >= 4$
Arriviamo quindi al caso: $x>=2^^x>=4$
ed ottengo l'equazione:
$|x - 2 - x + 4| = x$
$|2| = x -> x = 2$
Ill risultato $x=2$ non dovrebbe soddisfare la condizione sopra esposta ma è soluzione dell'equazione di partenza.
In quella di prima infatti $x=5/2$ non soddisfava il caso: $x >= 1 ^^ x <= 2$ ma in questo caso non era soluzione
della disequazione di partena.
C'è qualcosa che non torna.
Grazie
Avevo effettuato il collegamento per correggere alcune mie affermazioni erronee: nell'esercizio precedente c'erano altre cose non giuste. Comunque possiamo lasciarlo stare, perchè i concetti che ci interessano sono presenti anche nel tuo ultimo esercizio e le correzioni da fare sono analoghe.
E' sempre pericoloso lavorare unendo assieme due intervalli, quindi evita sempre di considerare casi col simbolo $vv$. Il simbolo $^^$ è tollerato, ma meglio evitarlo; inoltre ha più di un caso contrario (quando si nega la prima disequazione o una delle altre). Nel tuo caso, ci sono tre intervalli: prima di 2, fra 2 e 4, dopo 4.
Caso $x<=2$): l'equazione diventa $-x+2+x-4=x=>x=-2$, accettabile perchè nell'intervallo;
Caso $2<=x<=4$: l'equazione diventa $x-2+x-4=x=>x=6$, non accettabile perchè fuori intervallo;
Caso $x>=4$): l'equazione diventa $x-2-x+4=x=>x=2$, non accettabile perchè fuori intervallo.
Dici che $x=2$ è soluzione, ma non è vero: sostituendo nell'equazione data ottieni $|2-2|-|2-4|=2=>0-2=2$, falso.
E' sempre pericoloso lavorare unendo assieme due intervalli, quindi evita sempre di considerare casi col simbolo $vv$. Il simbolo $^^$ è tollerato, ma meglio evitarlo; inoltre ha più di un caso contrario (quando si nega la prima disequazione o una delle altre). Nel tuo caso, ci sono tre intervalli: prima di 2, fra 2 e 4, dopo 4.
Caso $x<=2$): l'equazione diventa $-x+2+x-4=x=>x=-2$, accettabile perchè nell'intervallo;
Caso $2<=x<=4$: l'equazione diventa $x-2+x-4=x=>x=6$, non accettabile perchè fuori intervallo;
Caso $x>=4$): l'equazione diventa $x-2-x+4=x=>x=2$, non accettabile perchè fuori intervallo.
Dici che $x=2$ è soluzione, ma non è vero: sostituendo nell'equazione data ottieni $|2-2|-|2-4|=2=>0-2=2$, falso.
Risolvi attentamente....$x=2$ è soluzione dell'equazione di partenza..io chiedevo se hai un metodo per risolverla...diversamente!
Ci sono infatti diversi metodi e sto cercando di confrontarmi con voi esperti...ma così mi confondo di più.
Grazie.
Ci sono infatti diversi metodi e sto cercando di confrontarmi con voi esperti...ma così mi confondo di più.
Grazie.
Hai ragione: senza occhiali, non avevo visto che alcune sbarre di valor assoluto erano doppie. Correggo quindi i calcoli.
Caso $x<=2$): l'equazione è $|-x+2+x-4|=x=>|2|=x=>x=2$, accettabile;
Caso $2<=x<=4$): l'equazione è $|x-2+x-4|=x=> |2x-6|=x$. Il pezzo dentro al valore assoluto cambia segno nell'intervallo che stiamo esaminando, quindi dobbiamo distinguere in due sottocasi (se il cambiamento di segno fosse avvenuto fuori dell'intervallo in esame, non era necessario farlo):
sottocaso $2<=x<=3$): ottengo $-2x+6=x=>x=2$, accettabile;
sottocaso $3<=x<=4$): ottengo $2x-6=x=>x=6$, non accettabile;
Caso $x>=4$): ottengo $|x-2-x+4|=x=>|2|=x=>x=2$, non accettabile.
L'unica soluzione è quindi $x=2$. Perchè nel penultimo intervento dici che non soddisfa alla limitazione? Corrisponde ad uno dei suoi estremi, ma va incluso. Se noti, l'ho considerata non accettabile nell'ultimo caso, perchè non rientrava in esso; l'ho invece accettata altrove.
Dici che stai esercitandoti a risolvere in modi diversi, ed in generale è una bellissima cosa; in questo tipo di esercizi capita però abbastanza spesso che ci sia una soluzione chiara e lineare ed altre molto contorte; se riesci a trovare la prima, meglio fermarsi lì.
Caso $x<=2$): l'equazione è $|-x+2+x-4|=x=>|2|=x=>x=2$, accettabile;
Caso $2<=x<=4$): l'equazione è $|x-2+x-4|=x=> |2x-6|=x$. Il pezzo dentro al valore assoluto cambia segno nell'intervallo che stiamo esaminando, quindi dobbiamo distinguere in due sottocasi (se il cambiamento di segno fosse avvenuto fuori dell'intervallo in esame, non era necessario farlo):
sottocaso $2<=x<=3$): ottengo $-2x+6=x=>x=2$, accettabile;
sottocaso $3<=x<=4$): ottengo $2x-6=x=>x=6$, non accettabile;
Caso $x>=4$): ottengo $|x-2-x+4|=x=>|2|=x=>x=2$, non accettabile.
L'unica soluzione è quindi $x=2$. Perchè nel penultimo intervento dici che non soddisfa alla limitazione? Corrisponde ad uno dei suoi estremi, ma va incluso. Se noti, l'ho considerata non accettabile nell'ultimo caso, perchè non rientrava in esso; l'ho invece accettata altrove.
Dici che stai esercitandoti a risolvere in modi diversi, ed in generale è una bellissima cosa; in questo tipo di esercizi capita però abbastanza spesso che ci sia una soluzione chiara e lineare ed altre molto contorte; se riesci a trovare la prima, meglio fermarsi lì.
Caso $x<=2$): l'equazione è $|-x+2+x-4|=x=>|2|=x=>x=2$, accettabile;
Non è il cso $x<2$ per cui non è accettabile.
Poi tu parli del caso $x>=4$ non dovrebbe essere $x>4$...
Perchè nel penultimo intervento dici che non soddisfa alla limitazione? Mi ero confuso.
Mi puoi spiegare meglio con un esempio il discorso dei sottocasi!?
Grazie sempre per i chiarimenti.
Non è il cso $x<2$ per cui non è accettabile.
Poi tu parli del caso $x>=4$ non dovrebbe essere $x>4$...
Perchè nel penultimo intervento dici che non soddisfa alla limitazione? Mi ero confuso.
Mi puoi spiegare meglio con un esempio il discorso dei sottocasi!?
Grazie sempre per i chiarimenti.
"marcus112":Abbiamo visto che bisogna distinguere fra i valori minori o maggiori di 4; va inoltre considerato il valore 4. Questo può essere fatto in più modi; il più comune è mettere un uguale col segno minore, o col maggiore, o con entrambi. Io l'ho messo con entrambi ma sarebbe stato giusto anche metterlo con uno solo: l'essenziale è che non venga trascurato.
.
Poi tu parli del caso $x>=4$ non dovrebbe essere $x>4$...
Lo stesso discorso vale per il 2, e accetto la soluzione $x=2$ solo nel caso in cui c'è l'uguale; poiché io l'ho messo sia col maggiore che col minore, lo accetto in entrambi i casi. Se tu come primo caso avessi messo $x<2$ (lecito, purché dopo ci sia $x>=2$), allora in quel caso non l'avresti accettato.
Per quanto riguarda i sottocasi: supponiamo di star esaminando l'intervallo $2
2) $|x-7|$. Anche questa volta siamo fuori dall'intervallo e non occorrono dua casi; la disequazione però è falsa, quindi $|x-7|=-x+7$
3) $|2x-6|$. E' il caso già esaminato; devo divedere in sottocasi.
Vediamo se ho capito:
Questo è l'ntervallo che considero.
$2 <= x <= 4$
Questa è l'equazione.
$|2x - 6| = x$
Studiamo il segno dell'argomento del modulo:
$2x - 6 >= 0 -> x >= 3$
Valore che interno all'intervallo considerato.
In questo caso ho quindi due casi:il primo caso mi viene risolovendo il sistema:
$2 <= x <= 4 ^^ x >= 3 -> 3 <= x <= 4$
Ottengo l'equazione:
$2x - 6 = x -> x = 6$
Non accettabile.
Il secondo caso mi viene risolvendo il sistema:
$2 <= x <= 4 ^^ x < 3 -> 2 <= x < 3$
Ottengo l'equazione:
$- 2x + 6 = x -> x = 2$
Accettabile.
Quello che mi chiedo è:
una volta che so che il valore è interno all'intervallo che considero non basta risolvere le due equazioni e controllare se i risultati soddisfano l'intervallo..??!!
La distinzione dei due casi come nel nostro esempio:
$3 <= x <= 4$
$2 <= x < 3$
anche se molto accurata è necessaria?
La vedo invece molto utile nei casi dove il valore è fuori dall'intervallo
perchè evita dei passaggi che non andrebbero considerati o se considerati son un di più.
Grazie sempre.
Questo è l'ntervallo che considero.
$2 <= x <= 4$
Questa è l'equazione.
$|2x - 6| = x$
Studiamo il segno dell'argomento del modulo:
$2x - 6 >= 0 -> x >= 3$
Valore che interno all'intervallo considerato.
In questo caso ho quindi due casi:il primo caso mi viene risolovendo il sistema:
$2 <= x <= 4 ^^ x >= 3 -> 3 <= x <= 4$
Ottengo l'equazione:
$2x - 6 = x -> x = 6$
Non accettabile.
Il secondo caso mi viene risolvendo il sistema:
$2 <= x <= 4 ^^ x < 3 -> 2 <= x < 3$
Ottengo l'equazione:
$- 2x + 6 = x -> x = 2$
Accettabile.
Quello che mi chiedo è:
una volta che so che il valore è interno all'intervallo che considero non basta risolvere le due equazioni e controllare se i risultati soddisfano l'intervallo..??!!
La distinzione dei due casi come nel nostro esempio:
$3 <= x <= 4$
$2 <= x < 3$
anche se molto accurata è necessaria?
La vedo invece molto utile nei casi dove il valore è fuori dall'intervallo
perchè evita dei passaggi che non andrebbero considerati o se considerati son un di più.
Grazie sempre.
Supponi che dopo aver diviso nei precedenti due intervalli, quando consideri quello compreso fra 2 e 3 tu trovi la soluzione $x=7/2$: non sarebbe accettabile perchè non sta fra 2 e 3, pur essendo compresa fra 2 e 4 (il caso che avevamo suddiviso in sottocasi). Non so se questa mia supposizione può avverarsi in pratica, soprattutto con equazioni di primo grado; nel dubbio però devo ritenerlo possibile e quindi fare la distinzione precedente.
Ti volevo far notare quanto tu mi hai spiegato....
nell'intervallo da noi considerato:
$2<=x<=4$ la soluzione per esempio $x=3$ è accettabile.
Per il sottocaso $2<=x<3$ non è accettabile, infatti la soluzione $x=3$ non è soluzione dell'equazione da noi analizzata.
Quindi il sottocaso è $2<=x<3$ e non $2<=x<=3$ per il quale $x=3$ è accettabile.
nell'intervallo da noi considerato:
$2<=x<=4$ la soluzione per esempio $x=3$ è accettabile.
Per il sottocaso $2<=x<3$ non è accettabile, infatti la soluzione $x=3$ non è soluzione dell'equazione da noi analizzata.
Quindi il sottocaso è $2<=x<3$ e non $2<=x<=3$ per il quale $x=3$ è accettabile.
Nell'ultimo esempio consideravo la soluzione $x=7/2$ che non dà problemi. Il tuo dubbio, se ben capisco, si riferisce al caso in cui la soluzione coincide con un estremo di un caso o sottocaso. Se questo capita, allora questa soluzione sarà certo trovata due volte, sia con i valori minori che con i maggiori; se hai messo un solo uguale la accetti una sola volta, mentre se ne hai messi due la accetti due volte: in ogni caso è soluzione accettabile dell'equazione. E' quello che succedeva con la soluzione $x=2$ dell'ultima equazione esaminata: lo vedi bene se confronti i tuoi calcoli (con un solo uguale per ogni estremo) con i miei (con due uguali).
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