Risoluzione equazione con valori assoluti

[marcus1121]

Data l'equazione:

$|x+|x-1||+3|1-x|=x $ ho pensato di risolverla così:

Studiamo il segno di ciascun argomento dei moduli e costruiamo la
tabella nella quale riportiamo la loro variazione:

$x - 1 >= 0 -> x >= 1$

$1 - x >= 0 -> -x >= -1 -> x <= 1$

Dal grafico risultano due sistemi:

Primo sistema:

$x <= 1$

$x - x + 1 + 3 - 3x = x -> x = 1$

$1 <= 1$

Vero.

Il primo sistema è verificato per $x = 1$

Secondo sistema:

$x >= 1$

$x + x - 1 - 3 + 3x = x -> x = 1$

$1 >= 1$

Vero.

Il secondo sistema è verificato per $x = 1$

L'equazione di partenza ha per soluzione dunque $x = 1$

Secondo voi è giusto il procedimento ho potevo fare diversamente?

[marcus1121]

Forse mi sono spiegato male...
Provo a riformulare: questa è l’equazione già vista prima:

$||x - 2| - |x - 4|| = x$
Questo è l'intervallo che considero.

$2 <= x <= 4$

Questa è l'equazione.

$|2x - 6| = x$

Io ottengo questi due casi :

$ 3 <= x <= 4$
$ 2 <= x < 3$


Infatti per esempio il numero $3 $ è interno all’intervallo $2 <= x <= 4$
Ma io mi accorgo che non è soluzione dell’equazione di partenza dal caso:
$2 <= x < 3$
e non dal caso $2 <= x <= 3$ di cui parlavi precedentemente tu!
I casi dovranno essere precisi altrimenti….si erra.
Puoi controllare…grazie!!

[giammaria2]

Evidentemente non riusciamo a capirci: la soluzione $x=3$ non è mai stata trovata, quindi non ci chiediamo se è accettabile o no, e non ha nessuna importanza il modo in cui ho messo gli uguali. E' invece stata trovata la soluzione $x=2$, che dà un problema analogo: il mio ultimo intervento mirava a dire che anche in questo caso non importa come ho messo gli uguali, perché concludo comunque che è accettabile.
Provo ad affrontare il problema in altro modo: tu dici

Io ottengo questi due casi :
$ 3 <= x <= 4$
$ 2 <= x < 3$

ma avresti anche potuto dire che i casi ottenuti sono
$ 3 < x <= 4$
$ 2 <=x<=3$
Secondo te, cambia qualcosa? Se (in un'equazione diversa da quella in esame) avessimo trovato la soluzione $x=3$ facendo i calcoli relativi al primo caso (cioè valori maggiori di 3) e non l'avessimo ritrovata nel secondo caso (cioè valori minori di 3), che conclusione potevamo trarre?

EDIT: hp aggiunto in secondo tempo i due "cioè" fra parentesi perché erano possibili fraintendimenti.

[marcus1121]

Da quello che capisco io non cambia nulla poiché con l’unione dei due sottocasi :

$(3 <= x <= 4) uu (2 <= x < 3) = 2 <= x <= 4$

$(3 < x <= 4) uu (2 <= x <= 3) = 2 <= x <= 4$ o ancora:

$(3 <= x <= 4) uu (2 <= x <= 3) = 2 <= x <= 4$

si ritorna al nostro intervallo: $2<=x<=4$

Allora come mi devo spiegare che

se trovassi la soluzione $x=3$, per il caso di cui tu parli: $3 < x <= 4$ dovrei ritenerla non accettabile
anche se soddisfa il nostro intervallo.

E se trovassi la soluzione $x=3$, per il caso di cui parlo io: $3 <= x <= 4$ dovrei ritenerla accettabile
e inoltre soddisfa il nostro intervallo.
Per me quindi bisogna sempre verificare prendendo in considerazione l’intervallo.

[giammaria2]

Mi era parso di capire che il tuo dubbio riguardasse il mettere o non mettere gli uguali, ma vedo che si riferisce agli intervalli. Proviamo con un altro esercizio; per evitare lunghe scritture o equivoci, indicherò ogni intervallo con una lettera.
Abbiamo una certa equazione, e i calcoli iniziali mi fanno dire che sono accettabili solo le soluzioni nell'intervallo A, che è $-5<=x<=5$. Svolgendo i calcoli, arriviamo poi all'equazione
(1) $|x-3|=2x$
Devo quindi distinguere due intervalli: B, che è $-5<=x<4$ e C, che è $4<=x<=5$ (ho messo un solo uguale al 4 per farti contento, ma proseguendo vedrai che non ha importanza). Ovviamente l'unione di B e C mi ridà A.
Facciamo i calcoli in B
$-x+3=2x=>-3x=-3=>x=1$
soluzione accettabile perchè sta in B e anche in A.
Facciamo ora i calcoli in C
$x-3=2x=>-x=3=>x=-3$
soluzione secondo te accettabile perché sta in A e secondo me non accettabile perché non sta in C. Per sapere chi ha ragione proviamo a sostituirla nell'equazione (1):
$|-3-3|=2*(-3)=>6=-6$, falso: quindi veramente non era accettabile, pur rientrando in A.

[marcus1121]

Svolgendo i calcoli, arriviamo poi all'equazione
(1) $|x-3|=2x$

Devo quindi distinguere due intervalli: B, che è $-5<=x<4$ e C, che è $4<=x<=5$ (ho messo un solo uguale al 4 per farti contento, ma proseguendo vedrai che non ha importanza). Ovviamente l'unione di B e C mi ridà A.

Sei stato molto chiaro è ho abbandonato i miei dubbi... nel libro che uso per ripassare, per esempio, non ho visto la distinzione
accurata dei sottocasi. Conosci tu qualche altro libro dove trovare qualcosa?

Ma i sottocasi non sono:

B, che è $-5<=x<3$ e C, $3<=x<=5$ mi è venuto il dubbio vedendo il 4!


Grazie

[giammaria2]

Per quanto riguarda quali sono i sottocasi B e C hai pienamente ragione; ho fatto confusione con una precedente versione dell'esercizio. Per quanto riguarda il libro, non saprei consigliartene uno, ma non è necessario: basta pensare che ogni volta che si deve suddividere un intervallo si hanno due (o più) casi, e non ha nessuna importanza il fatto di chiamarli così o di usare la parola sottocaso.