Risoluzione disequazione irrazionale con valore assoluto

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Ilpotentino
Ilpotentino
10 gen 2013, 20:15
La disequazione è questa (x^2-8x)^1/2>3|x|-2x . Vorrei chiedervi la risoluzione di questa disequazione , a me esce -8/3
Risposte
giammaria2
giammaria2
10 gen 2013, 20:07
Cominciamo col C.E.: $x^2-8x>=0->x<=0 vv x>=8$
Ora distinguiamo per il valore assoluto.
Caso $x>=0$) La disequazione diventa $sqrt(x^2-8x)>3x-2x->sqrt(x^2-8x)>x$. E' tutto positivo, quindi possiamo elevare a quadrato, ottenendo $x^2-8x>x^2->...->x<0$, non accettabile perché non rientra nel nostro caso. Non ci sono soluzioni.
Caso $x<0$) La disequazione diventa $sqrt(x^2-8x)> -3x-2x->sqrt(x^2-8x)> -5x$. E' tutto positivo, quindi possiamo elevare a quadrato, ottenendo $x^2-8x>25x^2->24x^2+8x<0->-1/3 In teoria dovremmo ora fare l'unione dei due casi, ma è evidente che otterremo il solo ultimo risultato.

Ti invito ad usare il compilatore per le formule, ed il tuo modo di scriverle è già quasi perfetto. Ti aiuto anche dicendoti che ho digitato \$sqrt(x^2-8x)>3x-2x\$ per ottenere

$sqrt(x^2-8x)>3x-2x$
minomic
minomic
10 gen 2013, 20:14
Ciao, ti ricordo di scrivere le formule bene (leggi la guida presente nel box rosa in alto). Ricopio il testo: $(x^2-8x)^(1/2)>3|x|-2x$. Risolviamola nel modo più tipico possibile, anche se forse in questo caso sarebbe possibile fare qualche osservazione.
Per prima cosa il dominio: $x^2-8x>=0 rArr x<=0 vv x>=8$.
Discuto il modulo distinguendo i due casi:
1° CASO: $x>=0$ quindi $|x|=x$ e la disequazione diventa $(x^2-8x)^(1/2)>3x-2x rArr (x^2-8x)^(1/2)>x$. Ovviamente il membro di sinistra è una quantità sempre positiva (equivale a una radice quadrata) mentre per il membro di destra stiamo ipotizzando che sia anch'esso positivo. Eleviamo quindi al quadrato entrambi i membri e otteniamo $x^2-8x>x^2 rArr x<0$.
Questo risultato va messo a sistema con l'ipotesi fatta prima ma è evidente che il sistema $${(x>=0), (x<0):} non ammette soluzioni.
2° CASO: $x<0$ quindi |x|=-x e la disequazione diventa $(x^2-8x)^(1/2)>-3x-2x rArr (x^2-8x)^(1/2)>-5x$. Anche qui sappiamo che il membro di sinistra è positivo e per l'ipotesi fatta anche il membro di destra è positivo. Elevo al quadrato e ottengo $x^2-8x>25x^2 rArr 24x^2+8x<0 rArr x(3x+1)<0 rArr -1/3 Infine si fa l'unione tra le soluzioni del primo e del secondo caso ma, essendo il primo caso vuoto, la soluzione finale è direttamente quella del secondo caso, quindi $-1/3
minomic
minomic
10 gen 2013, 20:15
Ho visto ora che aveva già risposto giammaria. Va beh l'importante è che ci venga uguale! :-D
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