Risoluzione disequazione esponenziale
Devo studiare una funzione:
$f(x) = e^(3x)+e^(-x)$
La derivata prima è:
$3e^(3x)-e^(-x) > 0$ per studiare la sua monotonia
$3e^(3x) > e^(-x) $
E poi io avrei detto, erroneamente evidentemente, x > 0... Ma come si risolve?? Grazie mille
$f(x) = e^(3x)+e^(-x)$
La derivata prima è:
$3e^(3x)-e^(-x) > 0$ per studiare la sua monotonia
$3e^(3x) > e^(-x) $
E poi io avrei detto, erroneamente evidentemente, x > 0... Ma come si risolve?? Grazie mille
Risposte
Ti suggerisco il confronto grafico...
Si può fare non graficamente e in tal modo determinare con esattezza i punti in cui la derivata cambia segno.
Hai $3e^3x-e^(-x)>0$.
Fai allora il cambio di variabile $y=e^x$.
Perciò $e^(3x)=y^3$ ed $e^(-x)=y^(-1)=1/y$.
Quindi hai $3y^3-1/y>0$ e quindi $(3y^4-1)/y>0$.
Questa è una disequazione frazionaria e si risolve tramite:
numeratore maggiore di 0
denominatore maggiore di 0
e poi fai il prodotto dei segni.
Io ti faccio numeratore maggiore di 0:
$3y^4-1>0$ cioè $3y^4>1$. Pongo $t=y^2$ e quindi $t^2>1/3$ che si risolve risolvendo $t^2=1/3$ e prendendo i valori esterni.
Quindi $- sqrt((1/3))=0$) ho $y^2< sqrt((1/3))$ e quindi $-root(4)((1/3))
Infine sotiuisci $e^x$ al posto di y e trovi la soluzione
Hai $3e^3x-e^(-x)>0$.
Fai allora il cambio di variabile $y=e^x$.
Perciò $e^(3x)=y^3$ ed $e^(-x)=y^(-1)=1/y$.
Quindi hai $3y^3-1/y>0$ e quindi $(3y^4-1)/y>0$.
Questa è una disequazione frazionaria e si risolve tramite:
numeratore maggiore di 0
denominatore maggiore di 0
e poi fai il prodotto dei segni.
Io ti faccio numeratore maggiore di 0:
$3y^4-1>0$ cioè $3y^4>1$. Pongo $t=y^2$ e quindi $t^2>1/3$ che si risolve risolvendo $t^2=1/3$ e prendendo i valori esterni.
Quindi $- sqrt((1/3))
Infine sotiuisci $e^x$ al posto di y e trovi la soluzione
misanino l'idea è buona, il metodo meno..
attenzione: la soluzione di $3y^4 - 1>0$ è $|y|>root(4)(1/3)$ ovvero $-root(4)(1/3)>y$ $vv$ $y>root(4)(1/3)$
hai fatto un po' di confusione.
attenzione: la soluzione di $3y^4 - 1>0$ è $|y|>root(4)(1/3)$ ovvero $-root(4)(1/3)>y$ $vv$ $y>root(4)(1/3)$
hai fatto un po' di confusione.
Senza grane di cambi di variabile
$3e^(3x)-e^(-x) > 0$ diventa $3e^(3x)-1/e^x > 0$ da cui $(3e^(4x)-1)/e^x > 0$,
posso eliminare il denominatore che è sempre positivo, la disequazione diventa $e^(4x) > 1/3$,
passo al logaritmo naturale, $ln e^(4x) > ln 1/3$,
$4x> -ln3$,
$x> -1/4 ln3$, o se preferisci $x> ln root4(1/3)$
$3e^(3x)-e^(-x) > 0$ diventa $3e^(3x)-1/e^x > 0$ da cui $(3e^(4x)-1)/e^x > 0$,
posso eliminare il denominatore che è sempre positivo, la disequazione diventa $e^(4x) > 1/3$,
passo al logaritmo naturale, $ln e^(4x) > ln 1/3$,
$4x> -ln3$,
$x> -1/4 ln3$, o se preferisci $x> ln root4(1/3)$
"blackbishop13":
misanino l'idea è buona, il metodo meno..
attenzione: la soluzione di $3y^4 - 1>0$ è $|y|>root(4)(1/3)$ ovvero $-root(4)(1/3)>y$ $vv$ $y>root(4)(1/3)$
hai fatto un po' di confusione.
Hai ragione. Che sbadato!!!
Ho detto che prendevo i valori esterni e ho preso i valori interni.
Grazie della correzione!
"@melia":
Senza grane di cambi di variabile
$3e^(3x)-e^(-x) > 0$ diventa $3e^(3x)-1/e^x > 0$ da cui $(3e^(4x)-1)/e^x > 0$,
posso eliminare il denominatore che è sempre positivo, la disequazione diventa $e^(4x) > 1/3$,
passo al logaritmo naturale, $ln e^(4x) > ln 1/3$,
$4x> -ln3$,
$x> -1/4 ln3$, o se preferisci $x> ln root4(1/3)$
Che dire!?
Sei sempre la migliore e trovi il metodo più veloce!
Ruci guarda la sua risoluzione
"misanino":
Che dire!?
Sei sempre la migliore e trovi il metodo più veloce!
Ne riparleremo quando anche tu avrai 30 anni di questi esercizi sulle spalle.
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