Risoluzione disequazione
$(1/logn)^logn0)$
ho provato a risolverla così:
ponrndo $logn=y$ ottengo
$1/y^y
mi fate vedere come procedere? Poi ci provo io!
ho provato a risolverla così:
ponrndo $logn=y$ ottengo
$1/y^y
mi fate vedere come procedere? Poi ci provo io!
Risposte
Se devi "solo" dimostrare che $EElim_(n to +oo)(1/(log n))^(log n)=0$,
in questo caso puoi cavartela con un procedimento più semplice della "classica" verifica $epsilon-nu$:
se non mi sbaglio,e t'interessa,fà un fischio..
Saluti dal web.
in questo caso puoi cavartela con un procedimento più semplice della "classica" verifica $epsilon-nu$:
se non mi sbaglio,e t'interessa,fà un fischio..
Saluti dal web.
Grazie per la collaborazione.... la verifica di quel limite l'ho fatta così:
essendo $(1/logn)^logn$ per $n>=1$ maggiore di zero allora $epsilon>0$, ma mi interessa sapere come calcolare realmente il valore di $n$
Illuminami...
essendo $(1/logn)^logn$ per $n>=1$ maggiore di zero allora $epsilon>0$, ma mi interessa sapere come calcolare realmente il valore di $n$
Illuminami...
Diciamo intanto una cosa scontata ma importante:
fissato a piacere $overline(epsilon) in (0,+oo)$,
tu non stai cercando tanto l'intero insieme soluzione della disequazione $(1/(log n))^(log n)>overline(epsilon)$ (1)
quanto piuttosto un sottoinsieme di $NN$ contenente tutti e soli numeri naturali maggiori d'un opportuno $overline(nu)=nu_(overline(epsilon))$ per i quali la (1) è soddisfatta
(basta quest'ultima cosa,ai tuoi fini
)!
Ciò detto iniziamo col prendere,a quest'ultimo scopo,il logaritmo naturale(ovvero con base il numero di Nepero..)
d'entrambi i suoi membri(è legittimo farlo perché sono tutti e due positivi,come giustamente dicevi),
e notiamo come così facendo se ne conserverà il verso($e>1$..);
inoltre,per le note proprietà dei logaritmi la "nuova" disequazione potrà esser scritta nella forma $log n*[-log(log n)]"log"1/(overline(epsilon))*1$ (2):
affinché si trovi un insieme,tra quelli attenzionati ad inizio post,nel quale la (2) è soddisfatta,
basta trovare un $n$ per il quale avvenga contemporaneamente che $log n>"log"1/(overline(epsilon))$ e $log(log n)>1$..
Ricondotto il problema iniziale a questo sistema di disequazioni,
dovresti avere maggiore facilità a risolverlo:
ma se hai bisogno fà un fischio..
Saluti dal web.
P.S.
Piccola correzione su quanto hai scritto:
quella successione è definita per $n in NN" t.c. "n ne 1$,non per $n>=1$!
fissato a piacere $overline(epsilon) in (0,+oo)$,
tu non stai cercando tanto l'intero insieme soluzione della disequazione $(1/(log n))^(log n)>overline(epsilon)$ (1)
quanto piuttosto un sottoinsieme di $NN$ contenente tutti e soli numeri naturali maggiori d'un opportuno $overline(nu)=nu_(overline(epsilon))$ per i quali la (1) è soddisfatta
(basta quest'ultima cosa,ai tuoi fini
)!Ciò detto iniziamo col prendere,a quest'ultimo scopo,il logaritmo naturale(ovvero con base il numero di Nepero..)
d'entrambi i suoi membri(è legittimo farlo perché sono tutti e due positivi,come giustamente dicevi),
e notiamo come così facendo se ne conserverà il verso($e>1$..);
inoltre,per le note proprietà dei logaritmi la "nuova" disequazione potrà esser scritta nella forma $log n*[-log(log n)]
affinché si trovi un insieme,tra quelli attenzionati ad inizio post,nel quale la (2) è soddisfatta,
basta trovare un $n$ per il quale avvenga contemporaneamente che $log n>"log"1/(overline(epsilon))$ e $log(log n)>1$..
Ricondotto il problema iniziale a questo sistema di disequazioni,
dovresti avere maggiore facilità a risolverlo:
ma se hai bisogno fà un fischio..
Saluti dal web.
P.S.
Piccola correzione su quanto hai scritto:
quella successione è definita per $n in NN" t.c. "n ne 1$,non per $n>=1$!
la "nuova" disequazione potrà esser scritta nella forma $log n*[-log(log n)]"log"1/(overline(epsilon))*1$ (2): e qui ci siamo!
Non comprendo,però, perchè moltiplichi per $1$: e arrivi a $logn>log(1/epsilon)$ e $log(logn)>1$ ottenendo così il sistema che con $epsilon=0.01$ da come risultato: $n_epsilon>100$
perchè io cercando di risolvere la (2) (in un modo alla mia portata) arrivo a
$log(logn)>log_n(1/epsilon)->(log_n(logn))/(log_n(e))>log_n(1/ epsilon)$ (ho trasformato in base $n$ perchè non posso eliminare i logaritmi)
a questo punto non mi ricordo però come procedere...perchè vorrei vedere se ottengo un sistema che mi da gli stessi risultati del tuo
Non comprendo,però, perchè moltiplichi per $1$: e arrivi a $logn>log(1/epsilon)$ e $log(logn)>1$ ottenendo così il sistema che con $epsilon=0.01$ da come risultato: $n_epsilon>100$
perchè io cercando di risolvere la (2) (in un modo alla mia portata) arrivo a
$log(logn)>log_n(1/epsilon)->(log_n(logn))/(log_n(e))>log_n(1/ epsilon)$ (ho trasformato in base $n$ perchè non posso eliminare i logaritmi)
a questo punto non mi ricordo però come procedere...perchè vorrei vedere se ottengo un sistema che mi da gli stessi risultati del tuo
Perché,se voglio sia vero $a*b>c*1$,basta(avverbio già usato nel precedente post ..)che $a>b>0$ E $b>1$:
questo fatto può esserti utile nel caso in cui tu abbia fissato il tuo arbitrario $overline(epsilon)$ in $(0,1)$ (che poi è l'unico davvero "rognoso",perché è "semplice" risolvere la (2) quando fissi tale $overline(epsilon)$ a piacere in $[1,+oo)$ in quanto,in tal evenienza,si può comodamente verificare come basti porre $nu_(overline(epsilon))=3$),
nel quale riveste un importanza non del tutto marginale il fatto che puoi lecitamente porre $n>2$..
Saluti dal web.
..)che $a>b>0$ E $b>1$:questo fatto può esserti utile nel caso in cui tu abbia fissato il tuo arbitrario $overline(epsilon)$ in $(0,1)$ (che poi è l'unico davvero "rognoso",perché è "semplice" risolvere la (2) quando fissi tale $overline(epsilon)$ a piacere in $[1,+oo)$ in quanto,in tal evenienza,si può comodamente verificare come basti porre $nu_(overline(epsilon))=3$),
nel quale riveste un importanza non del tutto marginale il fatto che puoi lecitamente porre $n>2$..
Saluti dal web.
la "nuova" disequazione potrà esser scritta nella forma $log n*[-log(log n)]"log"1/(overline(epsilon))*1$ (2): e qui ci siamo!
Non comprendo,però, perchè moltiplichi per $1$: e arrivi a $logn>log(1/epsilon)$ e $log(logn)>1$ ottenendo così il sistema che con $epsilon=0.01$ da come risultato: $n_epsilon>100$
Il tuo sistema, secondo me, non è valido... con $epsilon=1/100$ deve essere $n>36.5$ L'ho visto graficamente!
Dai un'occhiata...
Secondo punto..come faccio a risolvere
$log(logn)>log_n(1/epsilon)->(log_n(logn))/(log_n(e))>log_n(1/ epsilon)$ (ho trasformato in base $n$ perchè non posso eliminare i logaritmi) e arrivare algebricamente a $n>36.5$
Non comprendo,però, perchè moltiplichi per $1$: e arrivi a $logn>log(1/epsilon)$ e $log(logn)>1$ ottenendo così il sistema che con $epsilon=0.01$ da come risultato: $n_epsilon>100$
Il tuo sistema, secondo me, non è valido... con $epsilon=1/100$ deve essere $n>36.5$ L'ho visto graficamente!
Dai un'occhiata...
Secondo punto..come faccio a risolvere
$log(logn)>log_n(1/epsilon)->(log_n(logn))/(log_n(e))>log_n(1/ epsilon)$ (ho trasformato in base $n$ perchè non posso eliminare i logaritmi) e arrivare algebricamente a $n>36.5$
Partiamo da un punto:
la nostra bella disequazione non è risolubile con metodi "elementari"..
Allora io mi sono accontentato,dato che era quanto m'interessava ai fini della verifica del limite nel quale avevo intuito che t'eri imbattuto,
di trovare un insieme di indici consecutivi,il primo dei quali dipendesse da $epsilon$,che non per forza coincidesse con quello più grande nel quale essa è risolta;
e ci son riuscito,grazie al fatto che se $epsilon<1$(dunque $"log" 1/(epsilon)>0$..),si ha che $logn>"log" 1/(epsilon)$ E $log(log n)>1rArr log n*log(log n)>"log" 1/(epsilon)$:
a conferma di ciò viene quanto dici in quei conti dei quali mi fido,perché è vero che per $n>=37$ si ha quanto dici
(è la stessa cosa di $n>36.5$..)
ma a maggior ragione resta vero se $n>100$..
Saluti dal web.
la nostra bella disequazione non è risolubile con metodi "elementari"..
Allora io mi sono accontentato,dato che era quanto m'interessava ai fini della verifica del limite nel quale avevo intuito che t'eri imbattuto,
di trovare un insieme di indici consecutivi,il primo dei quali dipendesse da $epsilon$,che non per forza coincidesse con quello più grande nel quale essa è risolta;
e ci son riuscito,grazie al fatto che se $epsilon<1$(dunque $"log" 1/(epsilon)>0$..),si ha che $logn>"log" 1/(epsilon)$ E $log(log n)>1rArr log n*log(log n)>"log" 1/(epsilon)$:
a conferma di ciò viene quanto dici in quei conti dei quali mi fido,perché è vero che per $n>=37$ si ha quanto dici
(è la stessa cosa di $n>36.5$..)
ma a maggior ragione resta vero se $n>100$..
Saluti dal web.
Intanto grazie per la disponibilità...avevo intuito che non era facile risolverla e per questo volevo
approfondire le conoscenze per arrivare alla soluzione...in questi casi i libri aiutano poco!
approfondire le conoscenze per arrivare alla soluzione...in questi casi i libri aiutano poco!
Ho guardato in giro per trovare un aiuto sulla risoluzione della disequazione
$(1/logn)^logn<1/100$ ma invano spero però nella collaborazione di voi esperti.
Grazie
$(1/logn)^logn<1/100$ ma invano spero però nella collaborazione di voi esperti.
Grazie
Come ti ha detto e ripetuto theras, per verificare il limite non c'è nessun bisogno di risolvere quella disequazione. Considerando però la tua ultima domanda come un esercizio a sé, la soluzione va fatta per via grafica.
Posto $y=log n$, la tua ultima disequazione è
$y^(-y)<10^(-2)$
Prendendo i logaritmi in base 10 e notando che deve essere $y>0$ ottieni
$-ylogy<-2->ylogy>2->logy>2/y$
che equivale al sistema
${(y_1=logy),(y_2=2/y),(y_1>y_2):}$
Disegnando le due curve vedi che il sistema è verificato a destra della loro intersezione, cioè all'incirca per $y>3.6$. Quindi (sempre all'incirca)
$log n>3.6->n>10^3.6=4000$
Provo a dire in altri termini quello che già ti ha detto theras. Con la sostituzione $y=logn$ ottieni
$1/y^yy^y>1/epsilon$
Posto $1/epsilon=M$, (con cui avrai certo $M>1$) la disequazione è certo verificata per $y>M$: infatti
$y^y>y^M>M^M>M$
Esiste quindi un intorno di $+oo$ in cui la disequazione è verificata.
Posto $y=log n$, la tua ultima disequazione è
$y^(-y)<10^(-2)$
Prendendo i logaritmi in base 10 e notando che deve essere $y>0$ ottieni
$-ylogy<-2->ylogy>2->logy>2/y$
che equivale al sistema
${(y_1=logy),(y_2=2/y),(y_1>y_2):}$
Disegnando le due curve vedi che il sistema è verificato a destra della loro intersezione, cioè all'incirca per $y>3.6$. Quindi (sempre all'incirca)
$log n>3.6->n>10^3.6=4000$
Provo a dire in altri termini quello che già ti ha detto theras. Con la sostituzione $y=logn$ ottieni
$1/y^y
Posto $1/epsilon=M$, (con cui avrai certo $M>1$) la disequazione è certo verificata per $y>M$: infatti
$y^y>y^M>M^M>M$
Esiste quindi un intorno di $+oo$ in cui la disequazione è verificata.
@Marcus.
Visto quanta gente di buona volontà è presente in questa stanza?
Fà tesoro delle sue parole,
e riflettici sù in profondità prima di eventuali altri quesiti in merito,
che i Professori bravi e profondamente dediti alla loro Professione cambiano in meglio la Vita se s'impara a leggere tra le righe dei loro insegnamenti
(cosa che quasi sempre han fatto pure loro affrontando gli argomenti da discenti..)!
@Gianmaria.
Grazie,Prof..e,sperando di non essere troppo fuori tempo massimo,buone Feste.
Saluti dal web.
Visto quanta gente di buona volontà è presente in questa stanza?
Fà tesoro delle sue parole,
e riflettici sù in profondità prima di eventuali altri quesiti in merito,
che i Professori bravi e profondamente dediti alla loro Professione cambiano in meglio la Vita se s'impara a leggere tra le righe dei loro insegnamenti
(cosa che quasi sempre han fatto pure loro affrontando gli argomenti da discenti..)!
@Gianmaria.
Grazie,Prof..e,sperando di non essere troppo fuori tempo massimo,buone Feste.
Saluti dal web.
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