Risoluzione di una binomia di quarto grado

[lozov]

Ciao, sto ripassando tutta analisi in previsione di un prossimo esame, volevo sapere se è possibile risolvere una binomia di quarto grado nel campo complesso come la seguente

\(\displaystyle x^4+1=0 \)

come una biquadratica cioè ponendo $y=x^2$ e procedendo al calcolo del discriminante. Sul libro che sto leggendo risolve scomponendola in fattori, aggiungendo e togliendo $2x^2$, ma io per curiosità ho voluto provare a risolverla come una biquadratica e sono giunto alle radici $y = \pmi$ che non mi convincono.

[StellaMartensitica]

$x=+-i$ non sono soluzioni.
In quanto elevare $i^n$ equivale ad elevare $i$ al resto della divisione di $n$ per quattro.

le soluzioni sono:

$z_k=cos(pi/4+kpi/2)+isen(pi/4+kpi/2)$
con $k=0,1,2,3$

[axpgn]

Non ti convincono perché sono sbagliate … il modulo è $1$ e gli argomenti sono $(kpi)/4$ con $k=1,3, 5, 7$ … IMHO

[Obidream]

"lozov":Ciao, sto ripassando tutta analisi in previsione di un prossimo esame, volevo sapere se è possibile risolvere una binomia di quarto grado nel campo complesso come la seguente

\(\displaystyle x^4+1=0 \)

come una biquadratica cioè ponendo $y=x^2$ e procedendo al calcolo del discriminante. Sul libro che sto leggendo risolve scomponendola in fattori, aggiungendo e togliendo $2x^2$, ma io per curiosità ho voluto provare a risolverla come una biquadratica e sono giunto alle radici $y = \pmi$ che non mi convincono.

È sbagliato perché una volta che fai:

$x^4+1=0$

Ponendo $y^2=x^4$ da cui $y=x^2$ ottieni $y=+-i$ ed a questo punto devi risolvere $x^2=+-i$ per trovare le soluzioni

[lozov]

Grazie per le spiegazioni, sono state tutte utili.