Risoluzione di un integrale per sostituzione

[Mikepicker]

Mi trovo di fronte al seguente integrale

$int(xsqrtx)/(1+x) dx$

Ho pensato ti sostituire $sqrtx$ a $t$

Quindi verrebbe fuori:

$2intt^5/(1+t^2) dt$

In questo modo mi salta in mente l'arctg .. però c'è quella t al numeratore che non so come trattarla..

Ringrazio anticipatamente per i vostri aiuti!

[Steven11]

Ciao.
Se non sbaglio dopo la sostituzione l'integrale esce così
$2\int \frac{t^4}{1+t^2}dt$

Sommo e levo 1 al numeratore
$\frac{t^4-1+1}{1+t^2}$ cioè

$\frac{t^4-1}{1+t^2}+\frac{1}{1+t^2}$

La prima, usando la regola di differenza dei due quadrati, diventa
$t^2-1$

La seconda la lasciamo $\frac{1}{1+t^2}$
Quindi l'integrale diventa
$2\int t^2-1+\frac{1}{1+t^2}dt$
cioè la somma separata di integrali facili da trattare, se non banali.
$2[\int t^2dt-\int1dt+\int\frac{1}{1+t^2}dt]$

Tutto chiaro? Ciao.

[Mikepicker]

Ah ecco!! Però aspetta.. non so come ti fa a venire $t^4$!

Dopo aver sostituito e differenziato mi viene questo:

$sqrtx=t$
$x=t^2$
$dx=2t^2$

Mettendo il tutto nell'integrale mi viene che $t^5$!

Dove sbaglio?

[@melia]

"Mikepicker":Dove sbaglio?

Se $x=t^2$ allora $dx=2tdt$

[Mikepicker]

Mado.. avevo sbagliato la derivata.. Scusatemi.. Grazie davvero!