Risoluzione di equazioni goniometriche con angoli associati
Mi ricordo esisteva una "scorciatoria" per risolvere le equazioni goniometriche del tipo $asinx+bcosx+c=0$ sfruttando gli angoli associati. Avevo visto un esercizio simile tempo fa,solo che non son riuscito a trovarlo con la funzione cerca. Qualcuno può postarmi un esercizio anche banale?Grazie!
Risposte
Considero l'equazione :
$a sinx +b cosx +c=0 $
Trasformo l'equazione data in una equazione elementare introducendo l'angolo ausiliario $ phi $.
Divido ambo i membri per $sqrt(a^2+b^2) ne 0 $ ottenendo:
$(a /sqrt(a^2+b^2))sinx +(b /sqrt(a^2+b^2))cosx +c/sqrt(a^2+b^2) =0 $
Poichè $ a/sqrt(a^2+b^2) $ e anche $ b/sqrt(a^2+b^2 ) $sono entrambi, in modulo $ < 1 $ e tali che la somma dei loro quadrati vale $ 1 $ , possiamo considerarli rispettivamente $sin $ e $ cos $ di un angolo ausiliario $ phi $ ( compreso tra $0 $ e $2pi$) e si può porre ad esempio : $ cos phi =a/sqrt(a^2+b^2) ; sin phi = b/sqrt(a^2+b^2 ) $ .
L'equazione diventa : $ cos phi *sin x +sin phi *cosx +c/sqrt(a^2+b^2) =0 $ e quindi :
$sin(x+phi) =-c/sqrt(a^2+b^2 )$.
E' una equazione elementare che dà subito il valore di $ x +phi $ e poi il valore dell'incognita $x $.
Esempio : $sqrt(3) sinx +cos x =sqrt(3) $
Divido ambo i membri per $sqrt((sqrt(3))^2+1^2) =2 $ ed ottengo
$sqrt(3)sinx/2 +cosx/2 =sqrt(3)/2 $
Pongo $cos phi=sqrt(3)/2 ; sin phi = 1/2 $ da cui ottengo subito $phi =pi/6 $.
L'equazione diventa : $ cos(pi/6)*sinx +sin(pi/6)cos x = sqrt(3)/2 $ da cui
$sin(x+pi/6)=sqrt(3)/2 $ e le soluzioni
* $x+pi/6=pi/3+2k pi rarr x=pi/6+2kpi , k in ZZ $
*$x+pi/6 = (2pi/3)+2k pi rarr x=pi/2+2k pi , k in ZZ$.
Analogamente l'equazione $ sinx -cos x = sqrt(2) $ viene risolta dividendo per $ sqrt(1+1)=sqrt(2) $; si ricava facilemnte che $phi = pi/4 $ e che le soluzioni sono $x = (3pi)/4 +2k pi ; k in ZZ$.
$a sinx +b cosx +c=0 $
Trasformo l'equazione data in una equazione elementare introducendo l'angolo ausiliario $ phi $.
Divido ambo i membri per $sqrt(a^2+b^2) ne 0 $ ottenendo:
$(a /sqrt(a^2+b^2))sinx +(b /sqrt(a^2+b^2))cosx +c/sqrt(a^2+b^2) =0 $
Poichè $ a/sqrt(a^2+b^2) $ e anche $ b/sqrt(a^2+b^2 ) $sono entrambi, in modulo $ < 1 $ e tali che la somma dei loro quadrati vale $ 1 $ , possiamo considerarli rispettivamente $sin $ e $ cos $ di un angolo ausiliario $ phi $ ( compreso tra $0 $ e $2pi$) e si può porre ad esempio : $ cos phi =a/sqrt(a^2+b^2) ; sin phi = b/sqrt(a^2+b^2 ) $ .
L'equazione diventa : $ cos phi *sin x +sin phi *cosx +c/sqrt(a^2+b^2) =0 $ e quindi :
$sin(x+phi) =-c/sqrt(a^2+b^2 )$.
E' una equazione elementare che dà subito il valore di $ x +phi $ e poi il valore dell'incognita $x $.
Esempio : $sqrt(3) sinx +cos x =sqrt(3) $
Divido ambo i membri per $sqrt((sqrt(3))^2+1^2) =2 $ ed ottengo
$sqrt(3)sinx/2 +cosx/2 =sqrt(3)/2 $
Pongo $cos phi=sqrt(3)/2 ; sin phi = 1/2 $ da cui ottengo subito $phi =pi/6 $.
L'equazione diventa : $ cos(pi/6)*sinx +sin(pi/6)cos x = sqrt(3)/2 $ da cui
$sin(x+pi/6)=sqrt(3)/2 $ e le soluzioni
* $x+pi/6=pi/3+2k pi rarr x=pi/6+2kpi , k in ZZ $
*$x+pi/6 = (2pi/3)+2k pi rarr x=pi/2+2k pi , k in ZZ$.
Analogamente l'equazione $ sinx -cos x = sqrt(2) $ viene risolta dividendo per $ sqrt(1+1)=sqrt(2) $; si ricava facilemnte che $phi = pi/4 $ e che le soluzioni sono $x = (3pi)/4 +2k pi ; k in ZZ$.
Grazie mille camillo..gentilissimo!è tutto chiaro ora. Grazie e ciao!
mica la conoscevo quella formula
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