[Risolto] Teoremi limiti non li capisco

[luca.squadrone]

Non so perchè non riesco proprio ad assimilare questi due teoremi: Teorema del confronto e teorema della permanenza del segno. In teoria li ho capiti bene, ma una volta che guardo l'esercizio non so cosa fare. Non riesco a capire proprio la logica con cui devono essere applicati per risolvere un limite... Ad esempio, devo applicare il teorema del confronto qui

$lim_(x->+\infty)(2 + x)$

e quello della permanenza del segno qui
"Dopo aver verificato che si ha $lim_(x->1)(3 - x^2)=2 > 0$
determinare un intorno di 1in cui la funzione $f(x)=3 - x^2$ sia positiva"

[@melia]

Hai ragione, è difficile applicare i teoremi negli esercizi che proponi perché le funzioni sono troppo semplici. Soprattutto il primo, è proprio difficile trovare due funzioni più semplici di quella proposta, che vadano ad infinito e siano una sempre maggiore o uguale e l'altra sempre minore o uguale di $2+x$. Propongo $1+x$ e $3+x$, non sono più semplici, ma nemmeno più complicate.
Per il secondo esercizio basta trovare un intorno di 1 in cui il binomio $3-x^2$ resti positivo, tipo $(3/4;5/4)$, il più grande possibile è $(2- sqrt3;sqrt3)$.

[luca.squadrone]

Potresti indicarmi i passaggi (se ce ne sono). Mi rendo conto che la semplicità é esasperante, ma non riesco proprio a capire.

[@melia]

Per il primo esercizio devi trovare due funzioni, una $<=$ e l'altra$ >=$ a quella di partenza, che abbiano lo stesso limite per x che tende a $+oo$
$1 + x <= 2 + x <= 3+x$, questa disuguaglianza è verificata per ogni $x in RR$, inoltre puoi verificare che
$lim_(x->+\infty)(1 + x) = +oo$ e anche che $lim_(x->+\infty)(3 + x)= +oo$, allora puoi dedurre che $lim_(x->+\infty)(2 + x) = +oo$

Avrei trovato molto più interessante applicare il teorema al calcolo del limite
$lim_(x->+\infty)(sinx + x) $, che non è verificabile per via diretta.
L'operazione è altrettanto semplice, ma più significativa. Le due funzioni carabiniere sono $y=x-1$ e $y=x+1$, per la definizione di seno si ha che $ x -1 <= sinx + x <= x+1$, non è difficile verificare che $lim_(x->+\infty)( x-1) = +oo$ e che $lim_(x->+\infty)( x+1)= +oo$, da questo si deduce che anche $lim_(x->+\infty)(sinx + x) =+oo$


Per il secondo, sai che la funzione è positiva per $-sqrt3

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[luca.squadrone]

"@melia":Per il primo esercizio devi trovare due funzioni, una $<=$ e l'altra$ >=$ a quella di partenza, che abbiano lo stesso limite per x che tende a $+oo$
$1 + x <= 2 + x <= 3+x$, questa disuguaglianza è verificata per ogni $x in RR$, inoltre puoi verificare che
$lim_(x->+\infty)(1 + x) = +oo$ e anche che $lim_(x->+\infty)(3 + x)= +oo$, allora puoi dedurre che $lim_(x->+\infty)(2 + x) = +oo$

ok, sto iniziando a capire. Ma quando scriviamo $1 + x <= 2 + x <= 3+x$, si può anche scegliere tipo $0,5 + x <= 2 + x <= 34+x$ giusto? Basta trovare 2 funzioni in cui quella di partenza è compresa?

"@melia":
Avrei trovato molto più interessante applicare il teorema al calcolo del limite
$lim_(x->+\infty)(sinx + x) $, che non è verificabile per via diretta.
L'operazione è altrettanto semplice, ma più significativa. Le due funzioni carabiniere sono $y=x-1$ e $y=x+1$, per la definizione di seno si ha che $ x -1 <= sinx + x <= x+1$, non è difficile verificare che $lim_(x->+\infty)( x-1) = +oo$ e che $lim_(x->+\infty)( x+1)= +oo$, da questo si deduce che anche $lim_(x->+\infty)(sinx + x) =+oo$

In pratica qui per trovare le funzioni carabiniere, siccome il $ -1 <= sinx <= +1$, hai preso i 2 casi in cui il seno è uguale a 1 e -1, giusto?

"@melia":
Per il secondo, sai che la funzione è positiva per $-sqrt3
Ma quindi di soluzioni ne esistono infinite?

[@melia]

Bene. Vedo che hai capito. Spero che anche i miei studenti li capiscano così, li dovrò spiegare la prossima settimana.

[luca.squadrone]

"@melia":Bene. Vedo che hai capito. Spero che anche i miei studenti li capiscano così, li dovrò spiegare la prossima settimana.

Diciamo che ora devo fare pratica ma il concetto l'ho capito. Ho rifatto una decina di esercizi col teorema del confronto e sono riuscito a risolverli tutti,per quello della permanenza invece mi sono bloccato mentre risolvevo questo: dovendo trovare un intorno di $-\infty$ dove $f(x)=(1-e^x)/(1+e^x)$ sia positiva, allora ho iniziato a considerare per quali valori di x la funzione è positiva.
$(1-e^x)/(1+e^x)>0$
$-11$ arrivati a questo punto, se il procedimento è giusto, come vado avanti?

[minomic]

C'è un segno sbagliato: dovrebbe \[-1 e^x>-1\\\\
e^x < 1
\end{cases}\] La prima disequazione è sempre soddisfatta perchè una funzione esponenziale è sempre maggiore di un numero negativo. Per la seconda è sufficiente applicare il logaritmo naturale ad entrambi i membri \[e^x < 1 \quad\Rightarrow\quad x < \ln 1 \quad\Rightarrow\quad x < 0\]

[luca.squadrone]

Grazie mille a tutti