[risolto] Studio funzione $|lnx|*log _(ex)e$
[svolgimento in corso] Studio della funzione $|lnx|*log _(ex)e$
Cambiando la base diventa $|(lnx)|/(lnx+1)$
Ora, non so bene come comportarmi con il valore assoluto.
caso A) $|lnx|>=0$ se $x>=1$ per cui considero $(lnx)/(lnx+1)$ dopo questo valore di x
Grafico
Il dominio suggerisce lo studio dei limiti:
$ lim_(x->+oo) lnx/(lnx+1)=1 $ e forse è giusto, quindi la retta y=1 è un asintoto orizzontale
f(x) interseca il grafico in x=1 in quanto la f qui assume in valore y=0
La derivata prima risulta $1/(x*(ln(x)+1)^2)$ e ponendola >0 scopriamo che la f cresce sempre,in particolare dopo il punto x=1 che interessa in questo caso, quindi si avvicina all'asintoto orizzontale dal di sotto.
La derivata seconda risulta $-((ln(x)+3)/(x^2*(ln(x)+1)^3))$, studiandola scopriamo che f(x) è concava tra 0 e $1/e$, mentre è convessa da $1/e$ in poi, quindi anche dopo il punto x=1 in cui la consideriamo.
caso B) $|lnx|<0$ per $0
$ lim_(x->0^+) -lnx/(lnx+1)=-1 $ con Hopital
$ lim_(x ->(1/e)^+) -lnx/(lnx+1)=+oo $
$ lim_(x ->(1/e)^-) -lnx/(lnx+1)=-oo $
per cui $x=1/e$ è un punto di discontinuità di seconda specie e la retta è un asintoto verticale
La derivata prima risulta $-1/(x*(ln(x)+1)^2)$ e ponendola >0 scopriamo che la f decresce sempre,in particolare tra 0 e 1 che interessa in questo caso.
La derivata seconda risulta $((ln(x)+3)/(x^2*(ln(x)+1)^3))$, studiandola scopriamo che f(x) è concava tra 0 e $1/e^3$, è convessa da $1/e^3$ a $1/e$, e poi nuovamente concava tra $1/e$ e 1 in cui la consideriamo.
NOTE confrontando i risultati del caso a e b, scopriamo un minimo in x=1, che è anche una cuspide (f è concava prima, convessa dopo)
Cambiando la base diventa $|(lnx)|/(lnx+1)$
Ora, non so bene come comportarmi con il valore assoluto.
caso A) $|lnx|>=0$ se $x>=1$ per cui considero $(lnx)/(lnx+1)$ dopo questo valore di x
Grafico
Il dominio suggerisce lo studio dei limiti:
$ lim_(x->+oo) lnx/(lnx+1)=1 $ e forse è giusto, quindi la retta y=1 è un asintoto orizzontale
f(x) interseca il grafico in x=1 in quanto la f qui assume in valore y=0
La derivata prima risulta $1/(x*(ln(x)+1)^2)$ e ponendola >0 scopriamo che la f cresce sempre,in particolare dopo il punto x=1 che interessa in questo caso, quindi si avvicina all'asintoto orizzontale dal di sotto.
La derivata seconda risulta $-((ln(x)+3)/(x^2*(ln(x)+1)^3))$, studiandola scopriamo che f(x) è concava tra 0 e $1/e$, mentre è convessa da $1/e$ in poi, quindi anche dopo il punto x=1 in cui la consideriamo.
caso B) $|lnx|<0$ per $0
$ lim_(x->0^+) -lnx/(lnx+1)=-1 $ con Hopital
$ lim_(x ->(1/e)^+) -lnx/(lnx+1)=+oo $
$ lim_(x ->(1/e)^-) -lnx/(lnx+1)=-oo $
per cui $x=1/e$ è un punto di discontinuità di seconda specie e la retta è un asintoto verticale
La derivata prima risulta $-1/(x*(ln(x)+1)^2)$ e ponendola >0 scopriamo che la f decresce sempre,in particolare tra 0 e 1 che interessa in questo caso.
La derivata seconda risulta $((ln(x)+3)/(x^2*(ln(x)+1)^3))$, studiandola scopriamo che f(x) è concava tra 0 e $1/e^3$, è convessa da $1/e^3$ a $1/e$, e poi nuovamente concava tra $1/e$ e 1 in cui la consideriamo.
NOTE confrontando i risultati del caso a e b, scopriamo un minimo in x=1, che è anche una cuspide (f è concava prima, convessa dopo)
Risposte
up
Mi sembra che sia così.....
Poiché
$|lnx|={(lnx text ( se )x>=1), (-lnx text ( se )0
$ln_(ex)=1/(lnx+1) text ( se )x>0 ^^ x!=1/e$,
allora la funzione
$f(x)=|lnx|*log _(ex)e$
è
$f(x)={(-lnx/(lnx+1) text ( se )0=1):}$
Poiché
$|lnx|={(lnx text ( se )x>=1), (-lnx text ( se )0
$ln_(ex)=1/(lnx+1) text ( se )x>0 ^^ x!=1/e$,
allora la funzione
$f(x)=|lnx|*log _(ex)e$
è
$f(x)={(-lnx/(lnx+1) text ( se )0
grazie mille! ho completato lo studio della f che a questo punto credo sia corretto
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