[Risolto] Problema di geometria analitica: iperbole

[enrinet78]

"Data l'iperbole avente i fuochi nei punti (±3;0) e i vertici nei punti (±√5;0), calcolare la misura dell'area del quadrilatero i cui lati sono tangenti all'iperbole e perpendicolari agli asintoti."

Ho trovato l'equazione dell'iperbole γ: 4√5x^2 - 5y^2 = 20;
Gli asintoti a: 5y - 2√5x = 0;
a': 5y + 2√5x = 0

Non so come procedere per trovare le equazioni dei lati: come faccio se non ho un punto in cui passano le rette tangenti?

[Enrico84]

non hai bisogno del punto per calcolare le equazioni delle rette; le puoi calcolare sfruttando 2 condizioni: 1) sono tangenti all'iperbole 2) sono perpendicolari agli asintoti ( devi ricordare che relazione sussiste tra i coefficienti angolari di due rette tra loro perpendicolari)

[Raptorista1]

come dice enrico, una volta trovato il fascio di rette con la condizione che ti sarai ricordato lo metti a sistema con l'iperbole, trovi due intersezioni; stesso procedimento con l'altro asintoto. il resto è in discesa

[enrinet78]

Scusate ragazzi, ma non mi siete stati affatto di aiuto. Dove è adaBTTLS ?

[adaBTTLS1]

....io prendo spunto dai tuoi risultati....: [ho però fatto conti frettolosi... visto che sono stata chiamata in tono tanto supplichevole... io non mi fiderei troppo.]

rette perpendicolari agli asintoti hanno equazione $y=+-sqrt(5)/2x+k$
trovato $y^2=5/4x^2+k^2+-sqrt(5)kx$ e sostituito nell'equazione dell'iperbole si ha
$(16sqrt(5)-25)/4x^2+-5sqrt(5)kx-(5k^2+20)=0$
ponendo $Delta=0$ si ha:
$125k^2+(20+5k^2)(16sqrt(5)-25)=0$
$80sqrt(5)k^2=500-320sqrt(5)$
$k^2=5/4sqrt(5)-4$

ricontrolla. ciao.

[Enrico84]

"enrinet78":Scusate ragazzi, ma non mi siete stati affatto di aiuto. Dove è adaBTTLS ?

Guarda che adaBTTLS non ha fatto altro che seguire lo stesso procedimento che ti avevamo suggerito noi, bisognava solo fare dei calcoli che potevi fare anche tu

[adaBTTLS1]

è vero.
non solo, ma ho ricontrollato i conti, vedendo che erano giusti, e quindi... non va bene per niente, prché risulta $k^2 < 0$.
quindi forse c'era qualcosa di sbagliato prima... ricontrollate tutti!
ciao.

[adaBTTLS1]

infatti, se sostituisci le coordinate dei vertici all'equazione trovata (inizialmente) l'uguaglianza non è verificata.

[adaBTTLS1]

gli asintoti sono giusti, mentre non c'è radice di 5 nell'equazione dell'iperbole: viene $4x^2-5y^2=20$. ricontrollare, prego.
ciao.

[adaBTTLS1]

riprendo i miei vecchi calcoli per la correzione:

"adaBTTLS":rette perpendicolari agli asintoti hanno equazione $y=+-sqrt(5)/2x+k$
trovato $y^2=5/4x^2+k^2+-sqrt(5)kx$ e sostituito nell'equazione dell'iperbole si ha
$-9/4x^2+-5sqrt(5)kx-(5k^2+20)=0$
ponendo $Delta=0$ si ha:
$125k^2+(20+5k^2)(-9)=0$
$80k^2=180$
$k^2=9/4$
$k=+-3/2$
ricontrolla. ciao.

le equazioni delle rette sono
$y=+-sqrt(5)/2x+-3/2$
sono quattro con i segni in tutte le combinazioni possibili:

$y=+sqrt(5)/2x+3/2$
$y=+sqrt(5)/2x-3/2$
$y=-sqrt(5)/2x+3/2$
$y=-sqrt(5)/2x-3/2$

a sistema a due a due si trovano i vertici (anche se forse qualcosa si può non ripetere...)

ciao. vai avanti tu.

[codino75]

ada santa subito.

[enrinet78]

"adaBTTLS":riprendo i miei vecchi calcoli per la correzione:
[quote="adaBTTLS"]rette perpendicolari agli asintoti hanno equazione $y=+-sqrt(5)/2x+k$
trovato $y^2=5/4x^2+k^2+-sqrt(5)kx$ e sostituito nell'equazione dell'iperbole si ha
$-9/4x^2+-5sqrt(5)kx-(5k^2+20)=0$
ponendo $Delta=0$ si ha:
$125k^2+(20+5k^2)(-9)=0$
$80k^2=180$
$k^2=9/4$
$k=+-3/2$
ricontrolla. ciao.

le equazioni delle rette sono
$y=+-sqrt(5)/2x+-3/2$
sono quattro con i segni in tutte le combinazioni possibili:

$y=+sqrt(5)/2x+3/2$
$y=+sqrt(5)/2x-3/2$
$y=-sqrt(5)/2x+3/2$
$y=-sqrt(5)/2x-3/2$

a sistema a due a due si trovano i vertici (anche se forse qualcosa si può non ripetere...)

ciao. vai avanti tu.[/quote]

Grazie mille, adaBTTLS, mi ritrovo pienamente nei calcoli.

[enrinet78]

"Enrico84":[quote="enrinet78"]Scusate ragazzi, ma non mi siete stati affatto di aiuto. Dove è adaBTTLS ?

Guarda che adaBTTLS non ha fatto altro che seguire lo stesso procedimento che ti avevamo suggerito noi, bisognava solo fare dei calcoli che potevi fare anche tu[/quote]

Infatti non chiedevo i calcoli, ma il procedimento. adaBTTLS ha sempre esposto solo il procedimento, ma nettamente in modo più chiaro. Non mi servivano i calcoli, ma ne ho approfittato per confrontare.
Per uno che non fa matematica da 11 anni i libri non bastano e ho notato che con tanto esercizio si può imparare più facilmente. Ciao.

[enrinet78]

Avevo dimenticato che l'equazione della retta ha due forme: ax+by+c=0 (forma implicita) e y=mx+q (forma canonica) [o il contrario, boh]. Quindi ogni volta che mi veniva chiesto di eseguire una tangenza andavo in tilt perchè utilizzavo perchè la implicita, trovandomi tanti coefficienti...