[Risolto] Parabole C1 e C2

[enrinet78]

“La parabola C1 di equazione y = 1/2x^2+bx+c incontra la parabola C2 di equazione y=x^2+2x nel suo vertice V2 e in un ulteriore punto P; scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto medio M del segmento V2P e giustificare che il luogo ammette come asse di simmetria la retta x=-1.”

Ho trovato parabola C1 di equazione y = 1/2x^2+bx+c che è y=1/2x^2+x-1/2, ma non so come procedere…

[oronte83]

Il vertice di C2 è $V_2(-1,-1)$, il punto $P$, appartenendo a C2, avrà coordinate $(t,t^2+2t)$.
Il punto medio del semgmento $V_2P$ è $M((t-1)/2,(t^2+2t-1)/2)$.
Da cui ti ricavi il luogo:

${(x=(t-1)/2),(y=(t^2+2t-1)/2):}$

Ora applichi il metodo di eliminazione del parametro ricavando $t$ dalla prima equazione e sostituendola nella seconda:

${(t=2x+1),(y=2x^2+4x+1):}$

$y=2x^2+4x+1$ è il luogo cercato. Essendo una parabola, ha asse di simmetria $y=-(b)/(2a)=-1$.

P.S. Dal momento che il luogo è descritto dal punto medio, la parabola C1 non è unica. Se cosi fosse il luogo si ridurrebbe al solo punto medio del segmento $V_2P$. Esistono invece infinite parabole C1 aventi intersezioni $V_2$ e $P$ con C2. $V_2$ resta ovviamente fisso, $P$ varia e al variare di $P$ il punto medio $M$ si sposta, descrivendo il luogo voluto.

[@melia]

Non puoi aver calcolato l'equazione della parabola $C_1$ perchè hai solo una condizione, quella di appartenenza del vertice $V_2$ alla parabola. A me è venuto il fascio di parabole $y=1/2 x^2+bx+b-3/2$, i punti di intersezione delle due parabole sono quindi $V_2 (-1;-1)$ e $P(2b-3, 4b^2-8b+3)$

Ho visto solo ora il messaggio di Oronte, forse il mio metodo ha qualche conticino in più, ma alla fine il risultato è lo stesso.

[enrinet78]

Ringrazio il genio Oronte83 e il bravo @melia !!! Grazie !