[Risolto] Intergrali indefiniti semplici.
Salve a tutti, avendo appena iniziato l'argomento non ho ancora molta dimestichezza.
Sapreste gentilmente aiutarmi nel calcolare l'integrale indefinito di:
A) 3x² / (x³+1)² dx
B) 2$ e^{2x} * sqrt(5+e^{2x}) $ dx
Grazie
Sapreste gentilmente aiutarmi nel calcolare l'integrale indefinito di:
A) 3x² / (x³+1)² dx
B) 2$ e^{2x} * sqrt(5+e^{2x}) $ dx
Grazie
Risposte
A) metodo dei fratti semplici
B) sostituzione $e^{x}=t$
da regolamento, devi postare almeno i tuoi tentativi e dire dove ti blocchi esattamente.
Paola
B) sostituzione $e^{x}=t$
da regolamento, devi postare almeno i tuoi tentativi e dire dove ti blocchi esattamente.
Paola
Chiedo scusa, provvedo subito! 
A)
Agli integrali fratti non siamo ancora arrivati (è proprio il prossimo paragrafo).
Abbiamo fatto esercizi in cui il numeratore è derivata del denominatore pertanto si ricorre al logaritmo.
La difficoltà sta nel fatto che non riesco ad applicare la regola a questo caso, nè mi vengono in mente idee alternative.
Al massimo stavo pensando di applicare il prodotto di due funzioni dove una è derivata dell'altro, ma le difficoltà sono le medesime.
B)
Non capisco proprio da dove iniziare
A)
Agli integrali fratti non siamo ancora arrivati (è proprio il prossimo paragrafo).
Abbiamo fatto esercizi in cui il numeratore è derivata del denominatore pertanto si ricorre al logaritmo.
La difficoltà sta nel fatto che non riesco ad applicare la regola a questo caso, nè mi vengono in mente idee alternative.
Al massimo stavo pensando di applicare il prodotto di due funzioni dove una è derivata dell'altro, ma le difficoltà sono le medesime.
B)
Non capisco proprio da dove iniziare
Il primo integrale è un caso particolare di fratto semplice, si risolve per "sostituzione immediata" o se preferisci con la funzione composta, sono due modi diversi di chiamare la stessa cosa, basta notare che $3x^2$ è la derivata di $x^3+1$
Per il secondo integrale il discorso è lo stesso notando che $2e^(2x)$ è la derivata di $5+e^(2x)$
Per il secondo integrale il discorso è lo stesso notando che $2e^(2x)$ è la derivata di $5+e^(2x)$
Effettivamente avevo notato che 3x² è derivata di x³+1.
Ciò che invece mi mette in difficoltà è il fatto che il denominatore sia al quadrato, pertanto, la sua derivata dovrebbe essere:
2(x³+1)*3x²
che è diversa dal numeratore, vero?
Per il secondo integrale, proprio perchè il discorso è lo stesso, trovo difficoltà
La derivata di $ sqrt(5+e^{2x} ) $ non dovrebbe essere:
$ 2e^{2x} // 2*sqrt(5+e^{2x}) $
?
Grazie per l'aiuto
Ciò che invece mi mette in difficoltà è il fatto che il denominatore sia al quadrato, pertanto, la sua derivata dovrebbe essere:
2(x³+1)*3x²
che è diversa dal numeratore, vero?
Per il secondo integrale, proprio perchè il discorso è lo stesso, trovo difficoltà
La derivata di $ sqrt(5+e^{2x} ) $ non dovrebbe essere:
$ 2e^{2x} // 2*sqrt(5+e^{2x}) $
?
Grazie per l'aiuto
Se sostituisci $t=e^x$ ottieni
$\int 2t^2 \sqrt{5+t^2}\frac{dt}{t}=\int 2t \sqrt{5+t^2}dt$
e $2t$ è la derivata di...
Paola
$\int 2t^2 \sqrt{5+t^2}\frac{dt}{t}=\int 2t \sqrt{5+t^2}dt$
e $2t$ è la derivata di...
Paola
$ t = sqrt(5+e^(2x) )$
Quindi $t^2 = 5 + e^(2x)$
$ln(t^2 - 5) = 2x$ da cui, differenziando ambo i membri, si ha $2 t/(t^2 - 5) dt = 2 dx$
Con questa sostituzione ti salta fuori l'integrale di una funzione razionale fratta di cui, in linea di principio, è sempre possibile trovare una primitiva.
P.S.: Io e Paola ci siamo incrociati. Le risposte sono diverse, quindi evito di cancellare la mia.
Quindi $t^2 = 5 + e^(2x)$
$ln(t^2 - 5) = 2x$ da cui, differenziando ambo i membri, si ha $2 t/(t^2 - 5) dt = 2 dx$
Con questa sostituzione ti salta fuori l'integrale di una funzione razionale fratta di cui, in linea di principio, è sempre possibile trovare una primitiva.
P.S.: Io e Paola ci siamo incrociati. Le risposte sono diverse, quindi evito di cancellare la mia.
Ho recuperato la brutta copia del compito in classe sul quale ho svolto i calcoli per questi 2 integrali.
Li riporto per intero così potete aiutarmi in modo preciso a trovare l'errore.
A)
$ int_^(3x^2 * (x^3+1)^(-2) ) $ dx =
$ (x^3+1)^-1 / -1 = - 1 / (x^3+1) $ +c
B)
$ int_^2e^{2x}*sqrt(5+e^{2x} ) $ dx =
$ (e^{2x})^(3/2) / (3/2) $ =
$ 2/3(e^{2x})^(3/2) $ +c
Li riporto per intero così potete aiutarmi in modo preciso a trovare l'errore.
A)
$ int_^(3x^2 * (x^3+1)^(-2) ) $ dx =
$ (x^3+1)^-1 / -1 = - 1 / (x^3+1) $ +c
B)
$ int_^2e^{2x}*sqrt(5+e^{2x} ) $ dx =
$ (e^{2x})^(3/2) / (3/2) $ =
$ 2/3(e^{2x})^(3/2) $ +c
A)va bene
B) la soluzione corretta è
$c+ \frac{2}{3}(5+e^{2x})$
hai sbagliato a mandare via il 5.
Paola
B) la soluzione corretta è
$c+ \frac{2}{3}(5+e^{2x})$
hai sbagliato a mandare via il 5.
Paola
Perfetto, ho capito!
Spero solo di non avervi fatto perdere troppo tempo
Chiedo scusa a tutti per non aver postato i calcoli completi sin da subito, ma ero convinto fossero sbagliati e al momento non li trovavo
Grazie per la collaborazione e buon proseguimento.
Ciao
EDIT: piccola svista. Alla soluzione dell'ultimo integrale, l'esponente 3/2 c'è, vero?
Spero solo di non avervi fatto perdere troppo tempo
Chiedo scusa a tutti per non aver postato i calcoli completi sin da subito, ma ero convinto fossero sbagliati e al momento non li trovavo
Grazie per la collaborazione e buon proseguimento.
Ciao
EDIT: piccola svista. Alla soluzione dell'ultimo integrale, l'esponente 3/2 c'è, vero?
Sì, c'è, ho scordato di scriverlo, scusa!
Paola
Paola
C'è, c'è.
Perfetto!
Grazie ancora e buona serata
Grazie ancora e buona serata
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