[Risolto] Goniometria:triangolo in semicirconferenza

[enrinet78]

“E’ dato il triangolo ABC di cui si conosce BÂC = 90° e ABC = 30°; si descrive la semicirconferenza avente per diametro l’ipotenusa BC ed esterna al triangolo.
Determinare sulla semicirconferenza un punto P tale che la somma delle sue distanze dalle rette dei due cateti del triangolo sia in rapporto (√3+1) con la sua distanza dall’ipotenusa”.

Risolvo:
(PH+PK)/PL = (√3+1);
PH = distanza di P dalla retta AC;
PK= distanza di P dalla retta AB;
PL= distanza di P dall’ipotenusa BC;
Il testo dà per soluzioni gli angoli PCB = 60° v PCB = 45°;
Quindi vuol dire che che è stato posto il valore x all’angolo PCB;
Non potendo guardare la soluzione durante la prova di un concorso, ho dovuto ignorare il suggerimento proposto dal testo, non lo avrei mai pensato (purtroppo).
Ho proceduto così:
ACB = 60°;
BC = x;
AC = BCsenABC = (1/2)x;
AB = BCsenACB = (√3/2)x;
Non so proseguire…

[adaBTTLS1]

BC è l'ipotenusa, quindi si può lasciare indicata come 2r, e poi si semplificherà.
devi considerare che AHPK è un rettangolo, ACPK un trapezio rettangolo, CHP un triangolo rettangolo. CPB è un angolo retto. dunque:
CP=2r cos x
PL=CP sen x
l'angolo CPK è supplementare di ACP, dunque è (180°-(x+60°)=120°-x) ed è uguale all'angolo PCH perché alterni interni tra le rette AH e PK tagliate dalla trasversale CP
CH=CP cos (120°-x)
PK è congruente ad AH=AC+CH=r+PC cos (120°-x)
PH=PC sen (120°-x)

sostituendo nell'equazione si ha $2r*sqrt(3)*cos x* (2 cos x - sen x) + 2r = 0$ 2r si può semplificare.
se sostituisci $cos^2x=1-sen^2x$ hai un'equazione di secondo grado in $senx$
spero sia chiaro. ciao.

[enrinet78]

Tutto molto chiaro. Solo un chiarimento... Come faccio a capire quale sia l'elemento al quale bisogna attribuire l'incognita x ? Grazie ancora. Ciao.

[adaBTTLS1]

il punto P è in una semicirconferenza. va in qualche modo trovata la posizione di P, quindi l'arco BP o l'arco CP. quindi un angolo che identifica la posizione di P potrebbe essere indifferentemente BOP, COP, BCP o CBP. in base a ciò che si sceglie, si formula l'equazione. visto che gli angoli alla circonferenza sono la metà degli angoli al centro che insistono sullo stesso arco, visto che è più facile lavorare con le formule di duplicazione che con quelle di bisezione, visto che il triangolo BCP è rettangolo in P, sembrerebbe più opportuno chiamare x l'angolo in B oppure l'angolo in C: ho chiamato quello in C per seguire l'indicazione, però penso che sarebbe stato uguale chiamare quello in B.... anzi, se ti serve solo per esercitarti, perché non provi?
se la risposta doveva essere 45° o 60° per l'angolo in C, nell'altro modo dovresti ottenere 45° o 30° per l'angolo in B...
ciao.

[enrinet78]

Ho provato entrambi i modi, mi trovo. Grazie mille Ada.

[adaBTTLS1]

prego.