[Risolto] Equazione di una circonferenza
"Scrivere l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante e passante per il punto A (1; 3+√2)."
Ho posto il passagio della circonferenza per O (0;0) e ho trovato c=0;
poi ho posto il passaggio per il punto A (1; 3+√2) e ho trovato un'equazione in a e b.
Dopo aver sostituito il valore di a con quello di b nell'equazione della circonferenza, ho messo quest'ultima a sistema con y=x; per la tangenza ho posto il discriminante uguale a 0.
La soluzione dell'esercizio è x^2+y^2+6x-6y=0, ma a me ne risulta un'altra. Ho sbagliato l'impostazione o i calcoli ? Grazie.[/code][/pgn][/chesspos][/asvg][/spoiler]
Ho posto il passagio della circonferenza per O (0;0) e ho trovato c=0;
poi ho posto il passaggio per il punto A (1; 3+√2) e ho trovato un'equazione in a e b.
Dopo aver sostituito il valore di a con quello di b nell'equazione della circonferenza, ho messo quest'ultima a sistema con y=x; per la tangenza ho posto il discriminante uguale a 0.
La soluzione dell'esercizio è x^2+y^2+6x-6y=0, ma a me ne risulta un'altra. Ho sbagliato l'impostazione o i calcoli ? Grazie.[/code][/pgn][/chesspos][/asvg][/spoiler]
Risposte
il procedimento non dovrebbe essere sbagliato, anche se c'è un modo probabilmente più semplice nei calcoli per risolvere il problema:
il centro è il punto d'intersezione tra la retta y=-x e l'asse del segmento AO.
ciao.
il centro è il punto d'intersezione tra la retta y=-x e l'asse del segmento AO.
ciao.
non so cosa hai sbagliato, ma a me risulta proprio x^2+y^2+6x-6y=0
se mi dici i passaggi che hai fatto con i calcoli ti posso dire dove sta l'errore
ciao
ciao
Ok, grazie a tutti. Provo anche con il procedimento suggerito da adaBTTLS !
dovresti però dimostrare quanto affermato ( cioè devi però motivare perchè effettivamente il centro è punto di intersezione di ...........)
ciao
ciao
Direi che non c'è praticamente nulla da dimostrare... il procedimento di adaBTTLS sfrutta semplicemente le proprietà fondamentali di una circonferenza... il raggio che passa per un punto di tangenza P è perpendicolare alla retta tangente in quel punto. Nel caso particolare la retta è $y=x$, quindi il centro dovrà trovarsi sulla sua perpendicolare, $y=-x$. Inoltre $O$ e $A$ sono due punti della circonferenza e so che se una corda è divisa a metà da una sua perpendicolare, allora la perpendicolare coincide con il raggio. Di conseguenza il centro della circonferenza deve trovarsi sull'asse di $AO$...
Giusto adaBTTLS?
Giusto adaBTTLS?
"enrinet78":
"Scrivere l'equazione della circonferenza tangente nell'origine alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante e passante per il punto A (1; 3+√2)."
Ho posto il passagio della circonferenza per O (0;0) e ho trovato c=0;
poi ho posto il passaggio per il punto A (1; 3+√2) e ho trovato un'equazione in a e b.
Dopo aver sostituito il valore di a con quello di b nell'equazione della circonferenza, ho messo quest'ultima a sistema con y=x; per la tangenza ho posto il discriminante uguale a 0.
La soluzione dell'esercizio è x^2+y^2+6x-6y=0, ma a me ne risulta un'altra. Ho sbagliato l'impostazione o i calcoli ? Grazie.[/code][/pgn][/chesspos][/asvg][/spoiler]
Ti dò una mano con i calcoli: l'equazione è $x^2+y^2+ax+by+c=0$
Il passaggio per $(0,0)$ comporta $c=0$, mentre il passaggio per $A(1;3+sqrt(2))$ comporta $a+(3+sqrt(2))b+12+6sqrt(2)=0$. L'intersezione con la retta $y=x$ comporta $2x^2+(a+b)x=0$ e la condizione di tangenza implica $a+b=0$. Quindi il sistema da risolvere è ${(a+(3+sqrt(2))b+12+6sqrt(2)=0),(a+b=0):}$ da cui ${(a=6),(b=-6):}$ ed infine l'equazione è $x^2+y^2+6x-6y=0$
@ maurer
certo, le proprietà sono queste.
come diceva Enrico84, va comunque commentato il procedimento, anche se la "dimostrazione" si riduce a due righe:
1. il raggio è perpendicolare alla retta tangente... per cui la retta che contiene il raggio è y=-x....
2. il centro è equidistante dai punti della circonferenza, dunque, se conosci due punti sulla circonferenza O ed A, il raggio appartiene al luogo dei punti equidistanti dal segmento OA, che per definizione è l'asse del segmento OA.
il fatto che l'asse risulti essere perpendicolare ad OA e passante per il punto medio è solo una proprietà, la definizione di asse di un segmento è quella di luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi.
anche l'equazione si ricava da questa proprietà, applicando la formula della distanza tra due punti tra il punto generico dell'asse P(x,y) e le coordinate di ciascuno dei due punti: si scrive l'equazione uguagliando le due espressioni $(PO)^2=(PA)^2$.
OK? ciao.
certo, le proprietà sono queste.
come diceva Enrico84, va comunque commentato il procedimento, anche se la "dimostrazione" si riduce a due righe:
1. il raggio è perpendicolare alla retta tangente... per cui la retta che contiene il raggio è y=-x....
2. il centro è equidistante dai punti della circonferenza, dunque, se conosci due punti sulla circonferenza O ed A, il raggio appartiene al luogo dei punti equidistanti dal segmento OA, che per definizione è l'asse del segmento OA.
il fatto che l'asse risulti essere perpendicolare ad OA e passante per il punto medio è solo una proprietà, la definizione di asse di un segmento è quella di luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi.
anche l'equazione si ricava da questa proprietà, applicando la formula della distanza tra due punti tra il punto generico dell'asse P(x,y) e le coordinate di ciascuno dei due punti: si scrive l'equazione uguagliando le due espressioni $(PO)^2=(PA)^2$.
OK? ciao.
"Enrico84":
dovresti però dimostrare quanto affermato ( cioè devi però motivare perchè effettivamente il centro è punto di intersezione di ...........)
ciao
Per fortuna nei miei esercizi non è imposto di dover dimostrare alcun teorema...
a nicola de rosa:
Mi ero distratto nei calcoli... Mi ritrovo con i tuoi. Comunque ho preferito usare il metodo suggerito da genio adaBTTLS. Grazie mille Nico.
Mi ero distratto nei calcoli... Mi ritrovo con i tuoi. Comunque ho preferito usare il metodo suggerito da genio adaBTTLS. Grazie mille Nico.
sto ricevendo tanti complimenti...
grazie, ma mi fate imbarazzare.
ciao.
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