[Risolto] Disequazione logaritmica
Disequazione logaritmica:
log[size=67]2[/size]X + log[size=67]x[/size]2 ≤ 2 ;
Risoluzione (passaggio per passaggio):
log[size=67]2[/size]X + log[size=67]2[/size]2/log[size=67]2[/size]X ≤ log[size=67]2[/size]4 ;
posto log[size=67]2[/size]X = y ;
y + 1/y ≤ 2 ;
y² - 2y +1 ≤ 0 ;
(y – 1)² ≤ 0 ;
y ≤ 1 ;
log[size=67]2[/size]X ≤ log[size=67]2[/size]2 ;
x > 0 _ _ _ _ _ _ 0_____________________________
x ≤ 2 _______________________•2•_ _ _ _ _ _ _ _ _
La mia soluzione è 0 < x ≤ 2 ;
Quella del testo è 0 < x < 1, x = 2.
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato ?
Un’altra cosa… Ho notato che in alcune disequazioni logaritmiche, la soluzione mi è data svolgendo il sistema, in altre non serve. Perché ?
log[size=67]2[/size]X + log[size=67]x[/size]2 ≤ 2 ;
Risoluzione (passaggio per passaggio):
log[size=67]2[/size]X + log[size=67]2[/size]2/log[size=67]2[/size]X ≤ log[size=67]2[/size]4 ;
posto log[size=67]2[/size]X = y ;
y + 1/y ≤ 2 ;
y² - 2y +1 ≤ 0 ;
(y – 1)² ≤ 0 ;
y ≤ 1 ;
log[size=67]2[/size]X ≤ log[size=67]2[/size]2 ;
x > 0 _ _ _ _ _ _ 0_____________________________
x ≤ 2 _______________________•2•_ _ _ _ _ _ _ _ _
La mia soluzione è 0 < x ≤ 2 ;
Quella del testo è 0 < x < 1, x = 2.
Mi aiutate a capire dove ho sbagliato ?
Un’altra cosa… Ho notato che in alcune disequazioni logaritmiche, la soluzione mi è data svolgendo il sistema, in altre non serve. Perché ?
Risposte
2 errori:
un quadrato non è mai negativo (quindi non y<=1, ma y=1)
nelle disequazioni non si può eliminare il denominatore: quindi il segno di tutta la frazione è negativo per y<0.
ricorreggi, e poi eventualmente ri-posta.
spero di essere stata chiara. ciao.
un quadrato non è mai negativo (quindi non y<=1, ma y=1)
nelle disequazioni non si può eliminare il denominatore: quindi il segno di tutta la frazione è negativo per y<0.
ricorreggi, e poi eventualmente ri-posta.
spero di essere stata chiara. ciao.
Correto, ora mi trovo.
Un’altra cosa… Ho notato che in alcune disequazioni logaritmiche, la soluzione mi è data svolgendo il sistema, in altre non serve. Perché ?
Un’altra cosa… Ho notato che in alcune disequazioni logaritmiche, la soluzione mi è data svolgendo il sistema, in altre non serve. Perché ?
in che senso? con le condizioni di esistenza?
Ad esempio mettendo a sistema due soluzioni x > 0 e x> 2, la soluzione finale della disequazione sarebbe x> 2. Non mettendole a sistema disequazione sarebbe soddisfatta anche per x<0. Quindi, vorrei sapere ciò che giusto...
Altro esempio... Nell'esercizio proposto non serve il sistema neanche con la condizione di esistenza x>0. In altri esercizi per avere le soluzioni dovevo fare il sistema...
qui hai come condizioni di esistenza x>0, x diverso da 1, mentre nella risoluzione hai una frazione:
$y+1/y-2<=0$
$(y-1)^2/y<=0$
con una frazione si pone tutto maggiore (o uguale a) 0, e si studia il segno
numeratore >=0: $(y-1)^2>=0, AA y in RR$
denominatore >0: $y>0$
visto che ti si chiedeva dove era <=0, il risultato, senza le condizioni di esistenza, è $y<0$->$log_2\x\<0$->$0
non so se ho chiarito i tuoi dubbi, eventualmente posta qualche altro esempio.
ciao.
$y+1/y-2<=0$
$(y-1)^2/y<=0$
con una frazione si pone tutto maggiore (o uguale a) 0, e si studia il segno
numeratore >=0: $(y-1)^2>=0, AA y in RR$
denominatore >0: $y>0$
visto che ti si chiedeva dove era <=0, il risultato, senza le condizioni di esistenza, è $y<0$->$log_2\x\<0$->$0
non so se ho chiarito i tuoi dubbi, eventualmente posta qualche altro esempio.
ciao.
Ok, mi è chiaro. Grazie Ada. Ciao.
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