Riflessioni interessanti sui quadrati e i cubi
non so dimostrare queste formule, ma che ne pensate?
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-2)^3-(x-3)^3)=12(x-4)+30 $
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-1)^3-(x-2)^3)=6(x-1) $
$ x^2-(x-1)^2=(2*x)-1 $
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-2)^3-(x-3)^3)=12(x-4)+30 $
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-1)^3-(x-2)^3)=6(x-1) $
$ x^2-(x-1)^2=(2*x)-1 $
Risposte
la differenza tra due cubi perfetti è un numero primo o un numero composto da due numeri primi
scusate, la differenza di un cubo perfetto e del suo cubo perfetto precedente è un numero primo o un numero composto da due numeri primi
$ 23^3-22^3=1519=7^2*31 $
mi correggo, anche per tre numeri primi
mi correggo, anche per tre numeri primi
confermo fino a $ 75^3-74^3=16651 $ 16651 è primo
"Il Pitagorico":
non so dimostrare queste formule, ma che ne pensate?
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-2)^3-(x-3)^3)=12(x-4)+30 $
$ (x^3-(x-1)^3)-((x-1)^3-(x-2)^3)=6(x-1) $
$ x^2-(x-1)^2=(2*x)-1 $
Non so in che misura sei pratico di calcolo polinomiale e di espressioni letterali, però potresti iniziare con lo svilupparle. Ai miei tempi si facevano alle medie, ora... non so
Per esempio, l'ultima
$x^2 - (x-1)^2 = x^2 - x^2 +2x-1=2x-1$...
ah ok
ho cercato di trovare una formula generale per le prime due osservazioni risolvendo questo polinomio di terzo grado \( (x^3-(x-1)^3)-((x-n)^3-(x-n-1)^3= \)
\(x^3-x^3+1+3x^3-3x \) \(-x^3+n^3+3x^2n-3xn^2\)
\(+x^3-n^3-1-3n^2-3n-3x^2n-3x^2+3xn^2+3x+6xn=6xn-3n^2-3n \)
\(x^3-x^3+1+3x^3-3x \) \(-x^3+n^3+3x^2n-3xn^2\)
\(+x^3-n^3-1-3n^2-3n-3x^2n-3x^2+3xn^2+3x+6xn=6xn-3n^2-3n \)
"Il Pitagorico":
$ 23^3-22^3=1519=7^2*31 $
mi correggo, anche per tre numeri primi
$8455^3-8454^3=2144435711=7^4*43*31*67$
ben 7 fattori primi. Naturalmente non si può andare a caso per trovare per quel numero; io ho fatto un ragionamento abbastanza lungo (per questo non lo riporto) che mirava a trovare 4 fattori; quelli in più sono venuti per conto loro.
non avevo ancora visto questa risposta, comunque ti ringrazio molto. Quando puoi e vuoi mi potresti spiegare come hai fatto?
Spero che questa mia risposta risulti leggibile; purtroppo in questo momento, sul mio computer, il compilatore funziona solo con alcune formule e non con altre, fra cui le mie, che quindi non posso controllare.
Detto $n$ un numero intero, ci interessa
$f(n)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
Supponiamo di aver già trovato una $n$ per cui $f(n)$ ha un discreto numero di fattori primi; per comodità di scrittura poniamo $a=f(n)$ e consideriamo il numero
$n_1=ka+n$
avendo indicato con $k$ un intero da trovare in modo opportuno. Con qualche calcolo si trova allora
$f(n_1)=3k^2 a^2+6nka+3ka+3n^2+3n+1$
La somma degli ultimi tre addendi vale $a$, quindi
$f(n_1)=a(3k^2 a+6nk+3k+1)$
che mostra che troveremo tutti i divisori di $a$; uno di essi sarà ripetuto se $6nk+3k+1$ è divisibile per esso.
Per i calcoli il mio punto di partenza è stato $n=26$ da cui $a=f(n)=2107=7^2*43$ ed ho chiesto che si ripetesse un'altra volta il fattore 7: occorre quindi che $6*26*k+3k+1=159k+1$ sia multiplo di 7. Per domande di questo genere c'è un'apposita teoria; se non la conosci puoi andare per tentativi e trovi che succede per $k=4$. Quindi
$n_1=4*2107+26=8454$
Detto $n$ un numero intero, ci interessa
$f(n)=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$
Supponiamo di aver già trovato una $n$ per cui $f(n)$ ha un discreto numero di fattori primi; per comodità di scrittura poniamo $a=f(n)$ e consideriamo il numero
$n_1=ka+n$
avendo indicato con $k$ un intero da trovare in modo opportuno. Con qualche calcolo si trova allora
$f(n_1)=3k^2 a^2+6nka+3ka+3n^2+3n+1$
La somma degli ultimi tre addendi vale $a$, quindi
$f(n_1)=a(3k^2 a+6nk+3k+1)$
che mostra che troveremo tutti i divisori di $a$; uno di essi sarà ripetuto se $6nk+3k+1$ è divisibile per esso.
Per i calcoli il mio punto di partenza è stato $n=26$ da cui $a=f(n)=2107=7^2*43$ ed ho chiesto che si ripetesse un'altra volta il fattore 7: occorre quindi che $6*26*k+3k+1=159k+1$ sia multiplo di 7. Per domande di questo genere c'è un'apposita teoria; se non la conosci puoi andare per tentativi e trovi che succede per $k=4$. Quindi
$n_1=4*2107+26=8454$
grazie, dimostrazione stupenda, non mi sarebbe mai venuta in mente
Una domanda: come potrei procedere per sapere se 91 è veramente l'unico numero primo esprimibile come somma e differenza di due cubi perfetti? 91=6^3-5^3=4^3+3^3
indipendentemente dal fatto che 91 sia primo o no, esiste un modo per trovare gli altri numeri interi che sono il risultato di una somma e differenza di cubi perfetti?
uno precedente all'altro.
HO RISOLTO: Praticamente se $ 91=6^3-5^3=4^3+3^3 $ allora $ 6^3-5^3-4^3-3^3=0 $ che è l'unica soluzione all'equazione $ x^3-(x-1)^3-(x-2)^3-(x-3)^3=0 $, quindi non esistono altri numeri che soddisfano questa proprietà.
CVD
CVD
ultima domanda: esisterà sempre un numero intero positivi che soddisfi questa relazione $ c= a^x+(a-1)^x=b^x-(b-1)^x $, con a b e x interi positivi?
Se dalla tua domanda sulla somma e differenza di cubi togli la condizione che i numeri siano consecutivi, ci sono infinite risposte, ottenute moltiplicando per un qualsiasi intero $k$:
$(6k)^3-(5k)^3=(4k)^3+(3k)^3=91k^3$
Forse ce ne sono anche altre, ma non saprei dirtelo; per l'ultima domanda, debbo pensarci ma ad occhio e croce direi che esistono sempre.
$(6k)^3-(5k)^3=(4k)^3+(3k)^3=91k^3$
Forse ce ne sono anche altre, ma non saprei dirtelo; per l'ultima domanda, debbo pensarci ma ad occhio e croce direi che esistono sempre.
da dove vengono fuori le formule originarie di Il Pitagorico ?
"giammaria":
Se dalla tua domanda sulla somma e differenza di cubi togli la condizione che i numeri siano consecutivi, ci sono infinite risposte, ottenute moltiplicando per un qualsiasi intero $k$:
$(6k)^3-(5k)^3=(4k)^3+(3k)^3=91k^3$
Questo già me lo immaginavo, anche perchè l'ho notato facendo altri calcoli, infatti volevo sapere se era vera in sola quella condizione specifica.
"paperino00":
da dove vengono fuori le formule originarie di Il Pitagorico ?
vengono dalla curiosità, da quando mi accorsi in prima media che la differenza di un quadrato perfetto precedente a al quadrato perfetto precedente era sempre un numero dispari, da allora che io lavoro sulle differenze di quadrati, cubi, ecc. ecc. Mostrai il risultato al mio professore di matematica alle media e mi disse che questo era il modo in cui ragionavano i Pitagorici (da questa mia prima riflessione sui quadrati e grazie al mio professore di Matematica viene il mio username)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo