Riduzione di un trinomio a differenza o somma di quadrati
Salve a tutti!
Ho un vuoto di memoria riguardo la riduzione di un trinomio ad una differenza di quadrati , in quanto sto svolgendo esercizi sugli Integrali indefiniti risolti tramite metodo di sostituzione.
Il trinomio è questo : $ -3x^2 -5x +2 $ e deve essere uguale a : $ 1/12 *[7^2 -(6x+5)^2] $
Non riesco a trovare nulla , ho provato a ricorrere al metodo "devono essere due coefficiente il cui la somma deve essere uguale al coefficiente di x e al prodotto del termine noto" ma neanche non mi trovo. Dove sbaglio?
Grazie dell'aiuto.
Ho un vuoto di memoria riguardo la riduzione di un trinomio ad una differenza di quadrati , in quanto sto svolgendo esercizi sugli Integrali indefiniti risolti tramite metodo di sostituzione.
Il trinomio è questo : $ -3x^2 -5x +2 $ e deve essere uguale a : $ 1/12 *[7^2 -(6x+5)^2] $
Non riesco a trovare nulla , ho provato a ricorrere al metodo "devono essere due coefficiente il cui la somma deve essere uguale al coefficiente di x e al prodotto del termine noto" ma neanche non mi trovo. Dove sbaglio?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
$-3x^2-5x+2= -3(x^2+5/3 x) +2 = -3(x^2+5/3 x + 25/36 - 25/36) +2 = -3(x+5/6)^2 +25/12 +2 =$
$= -3((6x+5)/6)^2 +25/12 +2= -3/36 (6x+5)^2 +49/12 = -1/12 (6x+5)^2 +49/12= 1/12 [49 - (6x-5)^2]$
Il passaggio cruciale è il completamento del quadrato: come vedi, nella prima riga ad un certo punto ho aggiunto e sottratto $25/36$. In questo modo ho ottenuto il quadrato del binomio $x+5/6$
$= -3((6x+5)/6)^2 +25/12 +2= -3/36 (6x+5)^2 +49/12 = -1/12 (6x+5)^2 +49/12= 1/12 [49 - (6x-5)^2]$
Il passaggio cruciale è il completamento del quadrato: come vedi, nella prima riga ad un certo punto ho aggiunto e sottratto $25/36$. In questo modo ho ottenuto il quadrato del binomio $x+5/6$
Quindi non c'è alcuna formula? Devo soltanto "smanettare"? 
Non è che voglia la pappa pronta ma ricordavo diversamente.
Non è che voglia la pappa pronta ma ricordavo diversamente.
In realtà sì può generalizzare: vale $ax^2+bx+c= 1/(4a) *[(2ax+b)^2 -(b^2-4ac)]$ (ovviamente $a!=0$).
Questo ci dice che, posto $Delta=b^2-4ac$, se $Delta>0$ allora abbiamo la differenza di quadrati, altrimenti no.
Questo ci dice che, posto $Delta=b^2-4ac$, se $Delta>0$ allora abbiamo la differenza di quadrati, altrimenti no.
Perfetto, ti ringrazio Gi8!
Il Thread si può chiudere, grazie matematicamente.it!
EDIT : Prima di chiudere , Gi8 scusami , mentre per la somma di quadrati? Cioè , quando ho $ Delta < 0$ come devo agire per ricostruire il trinomio sottoforma di somma ?
Esempio : se ho il trinomio $ x^2 - 2x + 4 $ , come posso agire?
Il Thread si può chiudere, grazie matematicamente.it!
EDIT : Prima di chiudere , Gi8 scusami , mentre per la somma di quadrati? Cioè , quando ho $ Delta < 0$ come devo agire per ricostruire il trinomio sottoforma di somma ?
Esempio : se ho il trinomio $ x^2 - 2x + 4 $ , come posso agire?
Stesso discorso fatto da G8 prima
(il punto cruciale è quello che ha evidenziato lui,
ossia aggiungere e sottrarre $(Delta)/(4a^2)$ al fattore ottenuto dopo aver messo $a$ in evidenza e,poi,
"smanettare" per come opportuno ai tuoi fini..);
solo che se $Delta<0$ è meglio scrivere $ax^2+bx+c=a[(x+ b/(2a))^2+(-Delta)/(4a^2)]=a[(x+b/(2a))^2+((sqrt(-Delta))/(2a))^2]$ (1):
grazie ad essa,svolti i dovuti passaggi col primo metodo d'integrazione per sostituzione,
si dimostra che nel caso d'un trinomio quadratico irriducibile
(nel prodotto di due poliomi di primo grado a coefficienti reali,s'intende..)
avremo $int 1/(ax^2+bx+c) dx=2/(sqrt(-Delta))"arctg"(2ax+b)/(sqrt(-Delta))+c$..
Saluti dal web.
(il punto cruciale è quello che ha evidenziato lui,
ossia aggiungere e sottrarre $(Delta)/(4a^2)$ al fattore ottenuto dopo aver messo $a$ in evidenza e,poi,
"smanettare" per come opportuno ai tuoi fini..);
solo che se $Delta<0$ è meglio scrivere $ax^2+bx+c=a[(x+ b/(2a))^2+(-Delta)/(4a^2)]=a[(x+b/(2a))^2+((sqrt(-Delta))/(2a))^2]$ (1):
grazie ad essa,svolti i dovuti passaggi col primo metodo d'integrazione per sostituzione,
si dimostra che nel caso d'un trinomio quadratico irriducibile
(nel prodotto di due poliomi di primo grado a coefficienti reali,s'intende..)
avremo $int 1/(ax^2+bx+c) dx=2/(sqrt(-Delta))"arctg"(2ax+b)/(sqrt(-Delta))+c$..
Saluti dal web.
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