Riconoscimento di una conica
Non riesco a capire la dimostrazione di questo teorema: data l'equazione $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, con $\Delta=b^2-4ac$, allora, se ammette soluzioni, essa rappresenta un'ellisse o una circonferenza se $\Delta<0$, una parabola se $\Delta=0$ e un'iperbole per $\Delta>0$.
La dimostrazione che ho letto ordina per potenze di $x$ e poi ragiona sul discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene:
$ax^2+(by+d)x+cy^2+ey+f=0$. Il discriminante di quest'equazione è $\Delta' = (b^2-4ac)y^2+(2bd-4ae)y+d^2-4af$. Come faccio a dedurre la tesi del teorema in base a questo discriminante? Cioè se $b^2-4ac = 0$ si ottiene $\Delta'=(2bd-4ae)y +d^2-4af$, ma perché questo significa che la conica è una parabola?
Vi ringrazio in anticipo.
La dimostrazione che ho letto ordina per potenze di $x$ e poi ragiona sul discriminante dell'equazione di secondo grado che si ottiene:
$ax^2+(by+d)x+cy^2+ey+f=0$. Il discriminante di quest'equazione è $\Delta' = (b^2-4ac)y^2+(2bd-4ae)y+d^2-4af$. Come faccio a dedurre la tesi del teorema in base a questo discriminante? Cioè se $b^2-4ac = 0$ si ottiene $\Delta'=(2bd-4ae)y +d^2-4af$, ma perché questo significa che la conica è una parabola?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Invece di scrivere dei papiri che non vengono letti e se vengono letti non vengono capiti, ti lascio con qualche concetto flash.
La teoria di tutto cio' si capisce in modo organico con la rappresentazione matriciale delle coniche.
https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresen ... le_coniche
Ma temo che siano argomenti che non hai mai affrontato, se vai alle superiori, se non sbaglio.
Vediamo altri modi e prendiamo un esempio: la parabola.
Prendiamo la parabola piu' facile, la madre di tutte le parabole $- x^2 + y = 0$.
Innanzitutto devi convincerti che il discriminante e' zero.
Gli unici parametri non nulli sono $a = -1$ e $e = 1$.
Quindi il discriminante e' davvero $\Delta = 0$.
Adesso dalla madre di tutte le parabole otteniamo le figlie.
Come si generano le parabole figlie ? In 3 modi:
per omotetia (lo zoom degli assi)
per rotazione
per traslazione degli assi.
Piu' in dettaglio:
omotetia:
$x' = kx, y'= ky$
rotazione
$x' = x cos \alpha - y sin alpha $
$x' = x sin \alpha + y cos alpha$
traslazione:
$x' = x+ x_0$
$y' = y + y_0$
Adesso quello che ti lascio come esercizio e':
prendere l'equazione della madre di tutte le parabole e applicare una alla volta le 3 trasformazioni e vedere che rimane $\Delta = 0$.
Ovvero: qualunque trasformazione fai su una parabola, il discriminante rimane 0.
Ok ? Fammi sapere come va.
La teoria di tutto cio' si capisce in modo organico con la rappresentazione matriciale delle coniche.
https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresen ... le_coniche
Ma temo che siano argomenti che non hai mai affrontato, se vai alle superiori, se non sbaglio.
Vediamo altri modi e prendiamo un esempio: la parabola.
Prendiamo la parabola piu' facile, la madre di tutte le parabole $- x^2 + y = 0$.
Innanzitutto devi convincerti che il discriminante e' zero.
Gli unici parametri non nulli sono $a = -1$ e $e = 1$.
Quindi il discriminante e' davvero $\Delta = 0$.
Adesso dalla madre di tutte le parabole otteniamo le figlie.
Come si generano le parabole figlie ? In 3 modi:
per omotetia (lo zoom degli assi)
per rotazione
per traslazione degli assi.
Piu' in dettaglio:
omotetia:
$x' = kx, y'= ky$
rotazione
$x' = x cos \alpha - y sin alpha $
$x' = x sin \alpha + y cos alpha$
traslazione:
$x' = x+ x_0$
$y' = y + y_0$
Adesso quello che ti lascio come esercizio e':
prendere l'equazione della madre di tutte le parabole e applicare una alla volta le 3 trasformazioni e vedere che rimane $\Delta = 0$.
Ovvero: qualunque trasformazione fai su una parabola, il discriminante rimane 0.
Ok ? Fammi sapere come va.
"Quinzio":
Invece di scrivere dei papiri che non vengono letti e se vengono letti non vengono capiti, ti lascio con qualche concetto flash.
Quando scrivo cerco di essere il più sintetico possibile, solo che stavolta era difficile stringere ancora di più il mio dubbio. Comunque la fatica della lettura è relativa alle competenze di chi legge, cioè per uno che di matematica ne sa parecchio leggere i miei papiri sarà come leggere una favoletta.
"Quinzio":
La teoria di tutto cio' si capisce in modo organico con la rappresentazione matriciale delle coniche.
https://it.wikipedia.org/wiki/Rappresen ... le_coniche
Ma temo che siano argomenti che non hai mai affrontato, se vai alle superiori, se non sbaglio.
Non vado alle superiori ma non ho mai fatto la rappresentazione matriciale delle coniche neanche all'università, studio economia e non sono cose che si fanno.
"Quinzio":
Vediamo altri modi e prendiamo un esempio: la parabola.
Prendiamo la parabola piu' facile, la madre di tutte le parabole $- x^2 + y = 0$.
Innanzitutto devi convincerti che il discriminante e' zero.
Gli unici parametri non nulli sono $a = -1$ e $e = 1$.
Quindi il discriminante e' davvero $\Delta = 0$.
Chiaro.
"Quinzio":
Adesso dalla madre di tutte le parabole otteniamo le figlie.
Come si generano le parabole figlie ? In 3 modi:
per omotetia (lo zoom degli assi)
per rotazione
per traslazione degli assi.
Chiaro.
"Quinzio":
Adesso quello che ti lascio come esercizio e':
prendere l'equazione della madre di tutte le parabole e applicare una alla volta le 3 trasformazioni e vedere che rimane $\Delta = 0$.
Ovvero: qualunque trasformazione fai su una parabola, il discriminante rimane 0.
Ok ? Fammi sapere come va.
Ok, domani lo farò. L'unico caso non banale è quello della rotazione, perché se l'asse di simmetria della parabola non è parallelo ad uno degli assi cartesiani compare il termine in $xy$ e quindi il coefficiente $b$ in questo caso sarebbe diverso da $0$.
Poi per l'ellisse e per l'iperbole mi consigli di fare la stessa cosa? Parto dalle loro equazioni canoniche con i fuochi sull'asse $x$, applico le trasformazioni di sopra e vedo che per forza di cose il discriminante sarà sempre, rispettivamente, $\Delta<0$ o $\Delta>0$?
Mi sembra lungo dimostrare così che a quei discriminanti corrispondono quelle coniche, però in mancanza d'altro mi accontento.
"HowardRoark":
[quote="Quinzio"]Invece di scrivere dei papiri che non vengono letti e se vengono letti non vengono capiti, ti lascio con qualche concetto flash.
Quando scrivo cerco di essere il più sintetico possibile, solo che stavolta era difficile stringere ancora di più il mio dubbio. Comunque la fatica della lettura è relativa alle competenze di chi legge, cioè per uno che di matematica ne sa parecchio leggere i miei papiri sarà come leggere una favoletta.
[/quote]
No aspetta, non ci siamo capiti. Sono io che scrivo i papiri.
Se dico: "Ho cambiato idea. Invece di mangiare una pizza, mangero' un piatto di pasta."
In ogni caso sono io che mangio, una pizza, o qualcos altro. Non sei tu che mangi.
Forse con un po' di presunzione ho detto che a volte e' inutile scrivere (io scrivo) papiri che nessuno legge e capisce.
In ogni caso non volevo offendere o criticare nessuno.
"Quinzio":
Adesso quello che ti lascio come esercizio e':
prendere l'equazione della madre di tutte le parabole e applicare una alla volta le 3 trasformazioni e vedere che rimane $\Delta = 0$.
Ovvero: qualunque trasformazione fai su una parabola, il discriminante rimane 0.
Ok ? Fammi sapere come va.
Ok, domani lo farò. L'unico caso non banale è quello della rotazione, perché se l'asse di simmetria della parabola non è parallelo ad uno degli assi cartesiani compare il termine in $xy$ e quindi il coefficiente $b$ in questo caso sarebbe diverso da $0$.
Prova e vedrai che succede una magia.
Poi per l'ellisse e per l'iperbole mi consigli di fare la stessa cosa? Parto dalle loro equazioni canoniche con i fuochi sull'asse $x$, applico le trasformazioni di sopra e vedo che per forza di cose il discriminante sarà sempre, rispettivamente, $\Delta<0$ o $\Delta>0$?
Mi sembra lungo dimostrare così che a quei discriminanti corrispondono quelle coniche, però in mancanza d'altro mi accontento.
Si, non e' molto lungo...
Allora, per la parabola i conti mi tornano. Parto da $y=x^2$ Gli applico la rotazione in senso antiorario di angolo $alpha$ e centro in $O$ ottenendo $-xsin(alpha)+ycos(alpha)=[xcos(alpha)+ysin(alpha)]^2$, e facendo i calcoli vedo che il discriminante di questa è $0$ a prescindere dall'angolo $alpha$ di rotazione.
Ma in un'equazione del tipo $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ perché il discriminante è $\Delta=b^2-4ac$? Per calcolare il discriminante non dovrei raccogliere le $x$ e calcolarlo in base ai coefficienti delle $x$? Ad esempio, nell'equazione $ax^2+bx+c=0$ il discriminante è $b^2-4ac$, ma non mi sembra lo stesso di quello di sopra.
Se considero $y=x^2$ ruotata con la rotazione in senso antiorario di angolo $alpha$ ottengo $x^2cos^2(alpha) + 2xysin(alpha)cos(alpha) + y^2sin^2(alpha) +xsin(alpha)-ycos(alpha)=0$. Se il discriminante è quello che mi hai detto tu ottengo sempre $0$, però se raccolgo per potenze di $x$ arrivo a $x^2cos^2(alpha) +[2ysin(alpha)cos(alpha)+sin(alpha)]x+y^2sin^2(alpha)-ycos(alpha)=0$ e, calcolando il discriminante di questa come di consueto, cioè coefficiente della $x$ al quadrato meno 4 volte il coefficiente di $x^2$ per il termine noto, ottengo $4y^2sin^2(alpha)cos^2(alpha)+sin^2(alpha)+4ysin^2(alpha)cos(alpha) -4cos^2(alpha)[y^2sin^2(alpha)-ycos(alpha)] =4ycos(alpha) + sin^2(alpha)$.
I due discriminanti non mi sembrano equivalenti: il primo veniva sempre $0$, questo non credo venga sempre $0$ ma potrebbe dipendere da $alpha$.[nota]In realtà mi è chiaro che i due discriminanti siano diversi, però mentre per quello delle equazioni di secondo grado capisco "da dove salta fuori", per questo delle coniche no, e mi sembra curioso che apparentemente abbiano la stessa formula, cioè $b^2-4ac$[/nota]
Se considero $y=x^2$ ruotata con la rotazione in senso antiorario di angolo $alpha$ ottengo $x^2cos^2(alpha) + 2xysin(alpha)cos(alpha) + y^2sin^2(alpha) +xsin(alpha)-ycos(alpha)=0$. Se il discriminante è quello che mi hai detto tu ottengo sempre $0$, però se raccolgo per potenze di $x$ arrivo a $x^2cos^2(alpha) +[2ysin(alpha)cos(alpha)+sin(alpha)]x+y^2sin^2(alpha)-ycos(alpha)=0$ e, calcolando il discriminante di questa come di consueto, cioè coefficiente della $x$ al quadrato meno 4 volte il coefficiente di $x^2$ per il termine noto, ottengo $4y^2sin^2(alpha)cos^2(alpha)+sin^2(alpha)+4ysin^2(alpha)cos(alpha) -4cos^2(alpha)[y^2sin^2(alpha)-ycos(alpha)] =4ycos(alpha) + sin^2(alpha)$.
I due discriminanti non mi sembrano equivalenti: il primo veniva sempre $0$, questo non credo venga sempre $0$ ma potrebbe dipendere da $alpha$.[nota]In realtà mi è chiaro che i due discriminanti siano diversi, però mentre per quello delle equazioni di secondo grado capisco "da dove salta fuori", per questo delle coniche no, e mi sembra curioso che apparentemente abbiano la stessa formula, cioè $b^2-4ac$[/nota]
Credo che tu abbia un po' di confusione sul senso del discriminante di una conica: è dato proprio dai coefficienti dei termini di secondo grado, cioè il coefficiente del termine misto alla seconda a cui va sottratto il quadruplo del prodotto tra i coefficienti dei due termini di secondo grado. Niente raccoglimenti o cose strane, la $x$ non ha trattamento diverso dalla $y$.
Va bene che non c'entra nulla col discriminante delle equazioni di secondo grado, ma perché è proprio quello il discriminante per riconoscere una conica? Da cosa lo capisco?
"HowardRoark":
Da cosa lo capisco?
Deriva dalla rappresentazione delle coniche sotto forma di matrice, cosa che non hai fatto, quindi ti devi solo fidare.
Ok, almeno così mi è più chiaro perché il mio libro non dimostra il teorema. Allora credo che per ora questo teorema lo prenderò come dato, non voglio dare per scontate cose che per me non lo sono affatto.
"HowardRoark":
Va bene che non c'entra nulla col discriminante delle equazioni di secondo grado, ma perché è proprio quello il discriminante per riconoscere una conica? Da cosa lo capisco?
Cerco di dare una spiegazione terra terra, poco formale ma spero intuitiva.
Il discriminante lo calcoli per sapere quante radici reali hai a disposizione.
Se $\Delta > 0$: due radici reali, significa che puoi fattorizzare il polinimio come prodotto di due polinomi lineari distinti che sono le equazioni di due linee distinte. In questo caso dovresti avere un'Iperbole.
Se $\Delta = 0$: una radice reale, significa che puoi fattorizzare il polinomio come quadrato di un polinomio lineare. Quindi avrai due linee coincidenti. In questo caso ottieni la parabola.
Se $\Delta < 0$: nessuna radice reale, non hai possibilità di fattorizzare. In questo caso hai un'ellisse.
Se qualcuno volesse formalizzare/correggere
"HowardRoark":Se $Delta=0$ allora $ax^2+bxy+cy^2$ si può scrivere come $a(x-uy)^2$ dove $u=-b/(2a)$ (questo se $a ne 0$, il caso $a=0$ lo puoi fare a parte).
data l'equazione $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, con $\Delta=b^2-4ac$, ...
Scriviamo $X=x-uy$. Allora l'equazione diventa
$aX^2+dX+duy+ey+f=0$.
Isolando la $y$ trovi un'equazione del tipo $y=rX^2+sX+t$ che è chiaramente una parabola (a meno che $du+e=0$ ma in questo caso la conica è degenere... prova a capire in che senso).
Cioè tramite un cambio di variabili reversibile (una riparametrizzazione degli assi) otteniamo una parabola.
Il caso dell'ellisse e dell'iperbole dev'essere simile, ci sono un po' di manipolazioni algebriche da fare.
Poi ci sono un po' di casi e sottocasi, una discussione completa senza matrici è laboriosa.
"Martino":
Se $Delta=0$ allora $ax^2+bxy+cy^2$ si può scrivere come $a(x-uy)^2$ dove $u=-b/(2a)$ (questo se $a ne 0$, il caso $a=0$ lo puoi fare a parte).
Facendo i conti verrebbe $c=b^2/(4a^2)$, però non torna, perché il discriminante dovrebbe essere 0 ma se vado a fare $b^2-4ac$ ottengo $b^2-4a*b^2/(4a^2) = b^2-b^2/a$, che fa $0$ solo se $a=1$.
EDIT: ho sbagliato, viene $c=b^2/(4a)$, allora i conti tornano.
Scusa ma usando $b^2=4ac$ abbiamo
$a(x-uy)^2 = a(x+by/(2a))^2$
$=a (x^2+b^2y^2/(4a^2)+bxy/a)$
$=ax^2+bxy+a((4ac)/(4a^2))y^2$
$= ax^2+bxy+cy^2$.
Cerca di fare attenzione nelle manipolazioni algebriche.
Io ti dò le idee, ma i conti devi saperli fare.
$a(x-uy)^2 = a(x+by/(2a))^2$
$=a (x^2+b^2y^2/(4a^2)+bxy/a)$
$=ax^2+bxy+a((4ac)/(4a^2))y^2$
$= ax^2+bxy+cy^2$.
Cerca di fare attenzione nelle manipolazioni algebriche.
Io ti dò le idee, ma i conti devi saperli fare.
Prova a fare il caso dell'ellisse e dell'iperbole, per esempio se $Delta$ è positivo allora quel polinomio non si scrive come $(x-uy)^2$ ma come una cosa del tipo $(x-uy)(x-vy)$ con $u ne v$.
Il caso della parabola comunque viene: $y=-(aX^2+dX+f)/(du+e)$, che in effetti ricorda anche a me una parabola; se $du+e=0$ immagino che sia una parabola degenere.
Ora provo a fare i casi dell'ellisse e dell'iperbole come mi hai suggerito.
Potresti darmi un input? Per l'ellisse e per l'iperbole ho delle disuguaglianze, non posso semplicemente sostituire nell'equazione della conica...
Ora provo a fare i casi dell'ellisse e dell'iperbole come mi hai suggerito.
Potresti darmi un input? Per l'ellisse e per l'iperbole ho delle disuguaglianze, non posso semplicemente sostituire nell'equazione della conica...
"HowardRoark":Non esiste la nozione di "parabola degenere" (cosa vorrebbe dire?). A occhio mi sembra che venga l'unione di due rette (cioè il polinomio di due variabili viene riducibile), ma controlla.
se $du+e=0$ immagino che sia una parabola degenere.
Potresti darmi un input? Per l'ellisse e per l'iperbole ho delle disuguaglianze, non posso semplicemente sostituire nell'equazione della conica...Le disuguaglianze ti dicono se esistono oppure no radici reali.
Devi considerare $P(x,y) = ax^2+bxy+cy^2$ che possiamo scrivere come $y^2 (aT^2+bT+c)$ dove $T=x/y$. Se $Delta$ è positivo allora $aT^2+bT+c$ ha due soluzioni reali distinte $u,v$, per cui $P(x,y)=a(x-uy)(x-vy)$. Ora ridefinisci gli assi: $X=x-uy$, $Y=x-vy$. Ricava $x$ e $y$ in funzione di $X$ e $Y$ e poi scrivi l'equazione della conica nelle nuove variabili $X$ e $Y$.
Se $Delta$ è negativo allora $aT^2+bT+c$ si scrive come $((2aT+b)^2-Delta)/(4a)$ e ovviamente $-Delta$ è positivo, quindi puoi scrivere $-Delta=delta^2$ e $aT^2+bT+c = (delta^2)/(4a) (((2aT+b)/delta)^2+1)$. In questo modo ti riconduci a una cosa del tipo $X^2+1$ moltiplicato per una costante (dopo un'opportuna riparametrizzazione degli assi). In questo modo dovresti arrivare all'equazione "canonica" di un'ellisse.
Non riesco a scrivere spesso in questi giorni, ma penso di averti dato abbastanza idee.
Nel mio messaggio precedente ho scritto "$X^2+1$ moltiplicato per una costante", è sbagliato, intendevo "$X^2+Y^2$ moltiplicato per una costante".
Mi sono appena ricavato la seguente equazione, partendo dall'equazione della conica nota $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ e con l'ipotesi $b^2-4ac>0$[nota]quella che tu chiami ridefinizione degli assi io la chiamo traslazione, e di solito per indicare il trasformato uso $x'$ e $y'$ come notazione, però per una maggiore leggibilità ometto gli apici. Comunque basta che sia chiaro che è l'equazione della conica traslata[/nota]
$a[x+(ux-uy)/(u-v)]^2+b[x+(ux-uy)/(u-v)][(x-y)/(u-v)] + c[(x-y)/(u-v)]^2+d[x+(ux-uy)/(u-v)]+e[(x-y)/(u-v)]+f = 0$, che forse è l'equazione di un'iperbole ma sono parecchi calcoli da fare, non riesco comunque a riconoscerla facilmente.
Comunque, oltre a ringraziarti per l'aiuto, osservo che la relazione col discriminante delle equazioni di secondo grado c'era, tant'è che tu ad un certo punto hai usato proprio l'ipotesi $b^2-4ac>0$ per fattorizzare $aT^2+bT+c$.
$a[x+(ux-uy)/(u-v)]^2+b[x+(ux-uy)/(u-v)][(x-y)/(u-v)] + c[(x-y)/(u-v)]^2+d[x+(ux-uy)/(u-v)]+e[(x-y)/(u-v)]+f = 0$, che forse è l'equazione di un'iperbole ma sono parecchi calcoli da fare, non riesco comunque a riconoscerla facilmente.
Comunque, oltre a ringraziarti per l'aiuto, osservo che la relazione col discriminante delle equazioni di secondo grado c'era, tant'è che tu ad un certo punto hai usato proprio l'ipotesi $b^2-4ac>0$ per fattorizzare $aT^2+bT+c$.
Ci sono dei modi per ottimizzare i conti, ma al momento sono in viaggio e non riesco a mettermi a farlo. Magari tra qualche settimana.
Per fare un esempio semplice, se ho l'equazione in tre variabili $x_1x_2=x_3^2$ (conica proiettiva), ci sono vari modi di "affinizzarla". Con le variabili $x=x_1/x_3$, $y=x_2/x_3$ (cioè prendiamo la retta all'infinito di equazione $x_3=0$) l'equazione diventa $xy=1$, un'iperbole. Invece con le variabili $x=x_2/x_1$, $y=x_3/x_1$ (cioè prendiamo la retta all'infinito di equazione $x_1=0$) l'equazione diventa $x=y^2$, una parabola.
"HowardRoark":Certo, chi ha detto il contrario? Se studi geometria proiettiva lo capisci bene. Nel piano proiettivo le coniche sono tutte ellissi, per passare all'affine devi mettere una retta all'infinito. Se la conica rimane disgiunta da tale retta, la sua versione affine è un'ellisse. Se la conica è tangente alla retta all'infinito, la sua versione affine è una parabola. Se la conica interseca la retta all'infinito in due punti distinti, la sua versione affine è un'iperbole.
osservo che la relazione col discriminante delle equazioni di secondo grado c'era, tant'è che tu ad un certo punto hai usato proprio l'ipotesi $b^2-4ac>0$ per fattorizzare $aT^2+bT+c$.
Per fare un esempio semplice, se ho l'equazione in tre variabili $x_1x_2=x_3^2$ (conica proiettiva), ci sono vari modi di "affinizzarla". Con le variabili $x=x_1/x_3$, $y=x_2/x_3$ (cioè prendiamo la retta all'infinito di equazione $x_3=0$) l'equazione diventa $xy=1$, un'iperbole. Invece con le variabili $x=x_2/x_1$, $y=x_3/x_1$ (cioè prendiamo la retta all'infinito di equazione $x_1=0$) l'equazione diventa $x=y^2$, una parabola.
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