Ricerca dicotomica per intersezione tra sin e parabola
Salve a tutti!
Dando ripetizioni mi sono imbattuto in un tipo di esercizio che non mi era mai capitato di dover risolvere, e cioè la seguente disequazione:
$sin(x)
Per prima cosa mi sono disegnato i grafici.
L'intervallo in cui il seno risulta minore della parabola dovrebbe andare da un certo angolo $alpha +2kpi$ (intersezione) a $2pi+2kpi$ dico bene?
Ora per trovare quell'angolo $alpha$ utilizzano la ricerca dicotomica (cosa che io ho usato solo in algoritmi informatici), quindi partono prendendo come intervallo per approssimare $alpha$ l'intervallo $[frac{pi}{4},frac{pi}{2}]$ e lo restringono via via fio ad ottenere un' approssimazione soddisfacente.
Questo è quello che ho capito ma non sono molto convinto.
Qualcuno conosce questo metodo e può chiarirmi le idee?
Grazie.
Dando ripetizioni mi sono imbattuto in un tipo di esercizio che non mi era mai capitato di dover risolvere, e cioè la seguente disequazione:
$sin(x)
Per prima cosa mi sono disegnato i grafici.
L'intervallo in cui il seno risulta minore della parabola dovrebbe andare da un certo angolo $alpha +2kpi$ (intersezione) a $2pi+2kpi$ dico bene?
Ora per trovare quell'angolo $alpha$ utilizzano la ricerca dicotomica (cosa che io ho usato solo in algoritmi informatici), quindi partono prendendo come intervallo per approssimare $alpha$ l'intervallo $[frac{pi}{4},frac{pi}{2}]$ e lo restringono via via fio ad ottenere un' approssimazione soddisfacente.
Questo è quello che ho capito ma non sono molto convinto.
Qualcuno conosce questo metodo e può chiarirmi le idee?
Grazie.
Risposte
Ciao,
l'idea della ricerca dicotomica è quella di dimezzare ad ogni passo l'intervallo nel quale andiamo a cercare la soluzione del nostro problema, fino o a trovare la soluzione esatta o ad ottenere un intervallo tanto piccolo che possiamo considerare il valore medio di tale intervallo come soluzione accettabile, in quanto miglior approssimazione ottenuta. Comunque penso che questo algoritmo non sia di grande utilità se si vuole determinare la soluzione a mano... implica il dover fare troppi calcoli per raggiungere una soluzione decente! Io personalmente avrei usato un software tipo GeoGebra per disegnare le due funzioni e calcolarne l'intersezione.
P.S. Comunque il risultato non è periodico, infatti le intersezioni tra le due curve sono solo due: $O(0,0)$ e $A(0.84,0.71)$ circa.
l'idea della ricerca dicotomica è quella di dimezzare ad ogni passo l'intervallo nel quale andiamo a cercare la soluzione del nostro problema, fino o a trovare la soluzione esatta o ad ottenere un intervallo tanto piccolo che possiamo considerare il valore medio di tale intervallo come soluzione accettabile, in quanto miglior approssimazione ottenuta. Comunque penso che questo algoritmo non sia di grande utilità se si vuole determinare la soluzione a mano... implica il dover fare troppi calcoli per raggiungere una soluzione decente! Io personalmente avrei usato un software tipo GeoGebra per disegnare le due funzioni e calcolarne l'intersezione.
P.S. Comunque il risultato non è periodico, infatti le intersezioni tra le due curve sono solo due: $O(0,0)$ e $A(0.84,0.71)$ circa.
Ciao, grazie della risposta.
Infatti negli esercizi fatti in classe, quel ragazzo calcolava per 5 o 6 volte l'intervallo ridotto fino a ottenere un approssimazione soddisfacente.
Perciò la soluzione finale di un esercizio del genere è semplicemente l'intervallo che va da $alpha$ approssimato a $2pi$ senza periodicità?
Infatti negli esercizi fatti in classe, quel ragazzo calcolava per 5 o 6 volte l'intervallo ridotto fino a ottenere un approssimazione soddisfacente.
Perciò la soluzione finale di un esercizio del genere è semplicemente l'intervallo che va da $alpha$ approssimato a $2pi$ senza periodicità?
e se invece volessi trovare $sin(x)>frac{x}{2}$? stessa cosa?
non sono sicuro se per questo tipo di esercizio posso considerare la funzione seno solo tra $0$ e $2pi$ invece che una sinusoide infinita
non sono sicuro se per questo tipo di esercizio posso considerare la funzione seno solo tra $0$ e $2pi$ invece che una sinusoide infinita
Prima domanda: se la soluzione viene richiesta in quell'intervallo si, altrimenti se viene richiesta su tutto $ RR $ devi considerare tutti i valori maggiori dell'approssimazione trovata e tutti i valori minori di zero.
Seconda domanda: la tecnica è sempre la stessa, disegni i grafici per capire un po' come si presenta la situazione, trovi le intersezioni e poi determini quali sono gli intervalli in cui vale la disuguaglianza richiesta.
Seconda domanda: la tecnica è sempre la stessa, disegni i grafici per capire un po' come si presenta la situazione, trovi le intersezioni e poi determini quali sono gli intervalli in cui vale la disuguaglianza richiesta.
ok allora è come pensavo.
faccio sempre un po di confusione nel ragionamento tra seno in forma sinusoidale e seno sulla circonferenza.
quindi si tiene conto della periodicità solo quando lo considero sulla circonferenza? in questo caso no perchè siamo su tutto $RR$ giusto?
faccio sempre un po di confusione nel ragionamento tra seno in forma sinusoidale e seno sulla circonferenza.
quindi si tiene conto della periodicità solo quando lo considero sulla circonferenza? in questo caso no perchè siamo su tutto $RR$ giusto?
Esatto, perché in questo caso le intersezioni sono finite; diverso è il caso per esempio dell'intersezione tra seno e la retta $y=1//2$: in questo caso infatti le intersezioni sono infinite e periodiche, quindi anche gli eventuali intervalli che soddisfano la disuguaglianza saranno infiniti e periodici. Comunque per il tuo quesito questo problema non si pone. 
ok ora ho le idee un po' più chiare, grazie.
Esiste un altro metodo a parte la ricerca dell'intersezione approssimata?
Esiste un altro metodo a parte la ricerca dell'intersezione approssimata?
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