Ricerca di massimi e minimi in una funzione
mi viene chiesto di cercare massimi e minimi di questa funzione \(\displaystyle f(x) = xe^{-|x^3-1|} \)
ne calcolo la derivata prima: \(\displaystyle f'(x) = e^{-|x^3-1|}(1-3x^3\frac{|x^3-1|}{x^3-1})\ \)
graficamente in rosso \(\displaystyle f(x) \) e in verde \(\displaystyle f'(x) \)
la mia domanda è: dal grafico vedo che la funzione ha un massimo e un minimo, però la derivata prima si annulla solo in $x = \-frac{1}{\root(3)(3)}$, come faccio a trovare il massimo?
ne calcolo la derivata prima: \(\displaystyle f'(x) = e^{-|x^3-1|}(1-3x^3\frac{|x^3-1|}{x^3-1})\ \)
graficamente in rosso \(\displaystyle f(x) \) e in verde \(\displaystyle f'(x) \)
la mia domanda è: dal grafico vedo che la funzione ha un massimo e un minimo, però la derivata prima si annulla solo in $x = \-frac{1}{\root(3)(3)}$, come faccio a trovare il massimo?
Risposte
Se ragioni attentamente sulla derivata vedi che c'e' un punto di discontinuita'.
In quel punto devi applicare direttamente la definizione di massimo (minimo).
https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... efinizione
Oppure, in una funzione dove c'e' un modulo $|g(x)|$, dividi la funzione in tanti tratti separati dai punti dove $g(x) = 0$ e nei punti dove $g(x)=0$ applichi direttamente la definizione come prima.
In quel punto devi applicare direttamente la definizione di massimo (minimo).
https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... efinizione
Oppure, in una funzione dove c'e' un modulo $|g(x)|$, dividi la funzione in tanti tratti separati dai punti dove $g(x) = 0$ e nei punti dove $g(x)=0$ applichi direttamente la definizione come prima.
"Quinzio":
Se ragioni attentamente sulla derivata vedi che c'e' un punto di discontinuità.
In quel punto devi applicare direttamente la definizione di massimo (minimo).
https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... efinizione
non ho capito come dovrei fare per applicare la la definizione in un punto di non derivabilità (o discontinuità parlando della derivata prima)?
Io propongo di spezzare la funzione così:
$f(x) = \{ (xe^{-x^3+1}, x>=1),(xe^{x^3-1}, x<1) :}$
Studi separatamente le due funzioni, facendo attenzione al fatto che per esempio la prima, siccome $x>0$ è strettamente decrescente e dunque avrai sicuramente un massimo per $x = 1$ e fai lo stesso tipo di considerazione per l'altra. otterrai gli stessi risultati, ma ti sarai liberato del modulo, che di per sé è abbastanza fastidioso
$f(x) = \{ (xe^{-x^3+1}, x>=1),(xe^{x^3-1}, x<1) :}$
Studi separatamente le due funzioni, facendo attenzione al fatto che per esempio la prima, siccome $x>0$ è strettamente decrescente e dunque avrai sicuramente un massimo per $x = 1$ e fai lo stesso tipo di considerazione per l'altra. otterrai gli stessi risultati, ma ti sarai liberato del modulo, che di per sé è abbastanza fastidioso
"SwitchArio":
[quote="Quinzio"]Se ragioni attentamente sulla derivata vedi che c'e' un punto di discontinuità.
In quel punto devi applicare direttamente la definizione di massimo (minimo).
https://it.wikipedia.org/wiki/Massimo_e ... efinizione
non ho capito come dovrei fare per applicare la la definizione in un punto di non derivabilità (o discontinuità parlando della derivata prima)?[/quote]
Devi dimostrare che $f(x) \le f(x_0)$ nel caso di un (presunto) massimo.
Nel nostro caso $x_0 = 1$, $f(x_0) = 1$
Con $x > x_0$ devi dimostrare che
$x(e^(x^3-1)) \le 1$
Si puo' iniziare prendendo il logaritmo da ambo i lati
$ln(x(e^(-x^3+1))) \le ln 1$
$ln x - x^3+1 \le 0$
$ln x \le x^3 - 1$
$ln x \le (x - 1) (x^2 +x +1)$
Fino a qui sono tutti passaggi algebrici.
Adesso si puo' cancellare a destra $(x^2 +x +1)$, che e' maggiore di $1$ e vedere se la disequazione e' verificata.
$ln x \le (x - 1)$
Sostituiamo $y = x-1$
$ln (y+1) \le y$
Facendo l'espansione del logaritmo,
$ y - y^2 / 2 + o(y^3) \le y$
$ - y^2 / 2 + o(y^3) \le 0$
Capisco che qualche concetto ti puo' essere oscuro perche' magari non l'hai ancora visto,
il succo del discorso e' di trovare uno modo per dimostrare $f(x) \le f(x_0)$.
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