Ricavare un'equazione particolare
Sto cercando di capire come ricavare un'equazione che l'autore del libro che sto leggendo usa in una dimostrazioe. Per chi lo avesse si trova sul baby Rudin a pagina 2 equazione (3) da cui segue la (4).
Espongo la questione e vi mostro quello che ho cercato di fare:
Si tratta di dimostrare che in $\QQ$ l'insieme $A ={p| p^2 < 2}$ non ha massimo e l'insieme $B={p| p^2 > 2}$ non ha minimo.
L'autore fa vedere che in $A$ per ogni $p$ esiste $q>p$ tale che $q^2<2$ e viceversa con $B$.
Introduce queste due equazioni:
(3) $q = p - \frac{p^2 - 2}{p+2} = \frac{2p+2}{p+2}$
da cui segue:
(4) $q^2 - 2 = \frac{2(p^2 - 2)}{(p+2)^2}$
infine mostra che $q$ così definito soddisfa la richiesta.
Ora io sto cercando di capire come l'autore possa aver ricavato la (3), io sono dell'idea che abbia usato un metodo euristico di questo tipo:
voglio che $q$ sia maggiore di $p$ se $p^2<2$ e viceversa, dunque scrivo una cosa del genere:
$q = p + X$ da cui introducendo un maggiore dettaglio $q = p + (2 - p^2)Y$
Ora però voglio che se $q > p$ allora $q^2 < 2$ e viceversa, dunque devo sostituire ad $Y$ qualcosa, e qui mi blocco, non riesco a capire come abbia fatto a sostituire $Y = \frac{1}{x+2}$. Sapreste spiegarmelo?
Espongo la questione e vi mostro quello che ho cercato di fare:
Si tratta di dimostrare che in $\QQ$ l'insieme $A ={p| p^2 < 2}$ non ha massimo e l'insieme $B={p| p^2 > 2}$ non ha minimo.
L'autore fa vedere che in $A$ per ogni $p$ esiste $q>p$ tale che $q^2<2$ e viceversa con $B$.
Introduce queste due equazioni:
(3) $q = p - \frac{p^2 - 2}{p+2} = \frac{2p+2}{p+2}$
da cui segue:
(4) $q^2 - 2 = \frac{2(p^2 - 2)}{(p+2)^2}$
infine mostra che $q$ così definito soddisfa la richiesta.
Ora io sto cercando di capire come l'autore possa aver ricavato la (3), io sono dell'idea che abbia usato un metodo euristico di questo tipo:
voglio che $q$ sia maggiore di $p$ se $p^2<2$ e viceversa, dunque scrivo una cosa del genere:
$q = p + X$ da cui introducendo un maggiore dettaglio $q = p + (2 - p^2)Y$
Ora però voglio che se $q > p$ allora $q^2 < 2$ e viceversa, dunque devo sostituire ad $Y$ qualcosa, e qui mi blocco, non riesco a capire come abbia fatto a sostituire $Y = \frac{1}{x+2}$. Sapreste spiegarmelo?
Risposte
Immagino tu stia parlando di razionali positivi, ossia che $A,B \subseteq QQ^+$, altrimenti il fatto che $B$ sia privo di minimo sarebbe banale (perché $B$ conterrebbe $-2,-3,-4,-5,...$).
Come si arriva a quelle espressioni lì si tratta di incastrare bene un po' di cose e non mi sembra particolarmente interessante.
Mi sembra più sensato cercare di procedere come farebbe un matematico "maturo" (che non deve necessariamente esibire il numeretto per sapere che c'è)...
Il ragionamento che si fa, a spanne, è il seguente.
Come dici tu, per mostrare che $A$ non ha massimo mi basta far vedere che per ogni $p in A$ riesco a scegliere un $x$ positivo e "piccolo" in modo che $q=p+x$ abbia il quadrato minore di $2$.
Visto che voglio $x$ positivo e "piccolo", scelgo di cercarlo nella forma $1/n$ con $n in NN$ ed $n>= 2$; quindi, mi basta trovare un $n >= 2$ naturale in modo che $q = p + 1/n$ abbia quadrato minore di $1$.
Con un po' di formula del quadrato di binomio vedo che:
\[
q^2 = p^2 + 2p\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\; ;
\]
dato che $1/n^2 < 1/n$, trovo:
\[
q^2 < p^2 + 2p\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = p^2 + (2p + 1)\ \frac{1}{n}\; ;
\]
ne viene che $q^2 < 2$ non appena riesco a scegliere $n$ in modo che:
\[
\left\{ \begin{split} n \geq 2 \\ p^2 + (2p + 1)\ \frac{1}{n} &< 2 \end{split}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{split} n &\geq 2 \\ n &> \frac{2p + 1}{2-p^2} \end{split}\right.
\]
e queste due condizioni le posso sempre soddisfare contemporaneamente scegliendo un $bar(n)$ adeguatamente "grande", poiché $NN$ non è limitato superiormente.
Quale sia effettivamente un'espressione esplicita per questo $bar(n)$ non mi interessa, perché mi basta la sua esistenza (che è garantita da una proprietà di base dell'insieme dei numeri naturali, i.e. la non limitatezza superiore) per fare ciò che mi serve, ossia risalire i passaggi.
Come si arriva a quelle espressioni lì si tratta di incastrare bene un po' di cose e non mi sembra particolarmente interessante.
Mi sembra più sensato cercare di procedere come farebbe un matematico "maturo" (che non deve necessariamente esibire il numeretto per sapere che c'è)...
Il ragionamento che si fa, a spanne, è il seguente.
Come dici tu, per mostrare che $A$ non ha massimo mi basta far vedere che per ogni $p in A$ riesco a scegliere un $x$ positivo e "piccolo" in modo che $q=p+x$ abbia il quadrato minore di $2$.
Visto che voglio $x$ positivo e "piccolo", scelgo di cercarlo nella forma $1/n$ con $n in NN$ ed $n>= 2$; quindi, mi basta trovare un $n >= 2$ naturale in modo che $q = p + 1/n$ abbia quadrato minore di $1$.
Con un po' di formula del quadrato di binomio vedo che:
\[
q^2 = p^2 + 2p\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\; ;
\]
dato che $1/n^2 < 1/n$, trovo:
\[
q^2 < p^2 + 2p\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = p^2 + (2p + 1)\ \frac{1}{n}\; ;
\]
ne viene che $q^2 < 2$ non appena riesco a scegliere $n$ in modo che:
\[
\left\{ \begin{split} n \geq 2 \\ p^2 + (2p + 1)\ \frac{1}{n} &< 2 \end{split}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{split} n &\geq 2 \\ n &> \frac{2p + 1}{2-p^2} \end{split}\right.
\]
e queste due condizioni le posso sempre soddisfare contemporaneamente scegliendo un $bar(n)$ adeguatamente "grande", poiché $NN$ non è limitato superiormente.
Quale sia effettivamente un'espressione esplicita per questo $bar(n)$ non mi interessa, perché mi basta la sua esistenza (che è garantita da una proprietà di base dell'insieme dei numeri naturali, i.e. la non limitatezza superiore) per fare ciò che mi serve, ossia risalire i passaggi.
Ti ringrazio, non ho pensato a ricavare una mia risposta, ho cercato di riottenere quella del libro, ora so come devo agire in questi casi.
Per completezza finisco la dimostrazione, ricalcando il tuo metodo:
Per l'insieme $B ={p\in \QQ^+| p^2 > 2}$ considero $q = p - \frac{1}{n}$ con $0 < n \in \NN$
So che $-\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2}$ scrivo
$q^2 = p^2 -2p\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2} > 2$ $\rightarrow$ $q^2 > p^2 -2p\frac{1}{n} -\frac{1}{n} > 2$ $\rightarrow$ $p^2 - 2 > (2p +1)\frac{1}{n}$
$\frac{p^2 - 2}{2p+1} > \frac{1}{n}$ e dunque $n > \frac{2p +1}{p^2 - 2}$
Però devo dire che il libro è molto più conciso perchè la (3) è valida sia se $p \in A$ sia se $p \in B$
Per completezza finisco la dimostrazione, ricalcando il tuo metodo:
Per l'insieme $B ={p\in \QQ^+| p^2 > 2}$ considero $q = p - \frac{1}{n}$ con $0 < n \in \NN$
So che $-\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2}$ scrivo
$q^2 = p^2 -2p\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2} > 2$ $\rightarrow$ $q^2 > p^2 -2p\frac{1}{n} -\frac{1}{n} > 2$ $\rightarrow$ $p^2 - 2 > (2p +1)\frac{1}{n}$
$\frac{p^2 - 2}{2p+1} > \frac{1}{n}$ e dunque $n > \frac{2p +1}{p^2 - 2}$
Però devo dire che il libro è molto più conciso perchè la (3) è valida sia se $p \in A$ sia se $p \in B$
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