Ricavare l'area di un triangolo con angoli ed un lato noti.
Ciao a tutti, sto sbattendo la testa da un po' su questa cosa, ma non riesco a giungere ad una soluzione. Concettualmente parlando se ho un triangolo con i tre angoli ed un lato noti, dovrebbe essere possibile calcolare il resto (altezza, quindi area, quindi altri due lati). Il punto è che non riesco a trovare la formula. sarà che non sono ancora espertissimo di trigonometria, ma non ce la faccio. Voi mi sapreste illuminare?
Ciao e grazie
Ciao e grazie
Risposte
Ciao!
Dato il trinagolo $ABC$, supponiamo di conoscere il lato $AB$. Immagina di tracciare l'altezza da uno vertici, per esempio $B$, relativa, quindi, al lato $AC$.
L'altezza così tracciata, che chiamiamo $BH$, si calcola con $BH = ABsen( \alpha)$, con $\alpha$ angolo con vertice in $A$.
Una volta che conosci $AH$, puoi calcolare la lunghezza del lato $CB$, come $CB=\frac{AH}{sen(\gamma)}$, con $\gamma$ angolo di vertice $C$.
Poi puoi trovare le proiezioni dei lati $AB$ e $BC$ sul lato AC, ossia $AH$ e $HC$ rispettivamente...
$AH=ABcos(\alpha)$
$HC=BCcos(\gamma)$
Poi calcoli $AC$ come somma dei due precedenti.
Così hai base e altezza, puoi calcolare l'area e il perimetro...
Il passaggio fondamentale è trovare all'interno del trinagolo generico dei triangoli rettangoli per cui valgono delle semplici relazioni di trigonometria, per cui:
ipotenusa$*sen(\alpha)=$ cateto opposto ad $\alpha$
ipotenusa$*cos(\alpha)=$ cateto adiacente ad $\alpha$
con $\alpha$ angolo non retto.
Sicuramente ci sono metodi più veloci, ma ora mi viene in mente questo.
Beatrice
Dato il trinagolo $ABC$, supponiamo di conoscere il lato $AB$. Immagina di tracciare l'altezza da uno vertici, per esempio $B$, relativa, quindi, al lato $AC$.
L'altezza così tracciata, che chiamiamo $BH$, si calcola con $BH = ABsen( \alpha)$, con $\alpha$ angolo con vertice in $A$.
Una volta che conosci $AH$, puoi calcolare la lunghezza del lato $CB$, come $CB=\frac{AH}{sen(\gamma)}$, con $\gamma$ angolo di vertice $C$.
Poi puoi trovare le proiezioni dei lati $AB$ e $BC$ sul lato AC, ossia $AH$ e $HC$ rispettivamente...
$AH=ABcos(\alpha)$
$HC=BCcos(\gamma)$
Poi calcoli $AC$ come somma dei due precedenti.
Così hai base e altezza, puoi calcolare l'area e il perimetro...
Il passaggio fondamentale è trovare all'interno del trinagolo generico dei triangoli rettangoli per cui valgono delle semplici relazioni di trigonometria, per cui:
ipotenusa$*sen(\alpha)=$ cateto opposto ad $\alpha$
ipotenusa$*cos(\alpha)=$ cateto adiacente ad $\alpha$
con $\alpha$ angolo non retto.
Sicuramente ci sono metodi più veloci, ma ora mi viene in mente questo.
Beatrice
Avendo un lato e tutti gli angoli puoi ricavare un secondo lato (mediante il teorema dei seni o il teorema di Carnot) e quindi applicare la seguente relazione: $S=1/2*l_1*l_2*sen\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due lati in questione.
"Beatrice123":
Ciao!
Dato il trinagolo $ABC$, supponiamo di conoscere il lato $AB$. Immagina di tracciare l'altezza da uno vertici, per esempio $B$, relativa, quindi, al lato $AC$.
L'altezza così tracciata, che chiamiamo $BH$, si calcola con $BH = ABsen( \alpha)$, con $\alpha$ angolo con vertice in $A$.
Una volta che conosci $AH$, puoi calcolare la lunghezza del lato $CB$, come $CB=\frac{AH}{sen(\gamma)}$, con $\gamma$ angolo di vertice $C$.
Poi puoi trovare le proiezioni dei lati $AB$ e $BC$ sul lato AC, ossia $AH$ e $HC$ rispettivamente...
$AH=ABcos(\alpha)$
$HC=BCcos(\gamma)$
Poi calcoli $AC$ come somma dei due precedenti.
Così hai base e altezza, puoi calcolare l'area e il perimetro...
Il passaggio fondamentale è trovare all'interno del trinagolo generico dei triangoli rettangoli per cui valgono delle semplici relazioni di trigonometria, per cui:
ipotenusa$*sen(\alpha)=$ cateto opposto ad $\alpha$
ipotenusa$*cos(\alpha)=$ cateto adiacente ad $\alpha$
con $\alpha$ angolo non retto.
Sicuramente ci sono metodi più veloci, ma ora mi viene in mente questo.
Beatrice
non riesco a capire perché $BH = ABsen( \alpha)$. Mi spieghi perché si fa così? E poi subito dopo dic che conosciamo AH. Come lo conosciamo?
Ciao e grazie
"Delirium":
Avendo un lato e tutti gli angoli puoi ricavare un secondo lato (mediante il teorema dei seni o il teorema di Carnot) e quindi applicare la seguente relazione: $S=1/2*l_1*l_2*sen\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due lati in questione.
qui non dice come ricavarci il secondo lato col teorema di Carnot...
Ciao e grazie anche a te
Per fare un po' d'ordine direi che:
Se in un triangolo qualsiasi si conoscono un lato e due angoli si applica il teorema dei seni che dice:
In un triangolo qualsiasi i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
cioè
$a/(sen\ alpha)=b/(sen \beta)=c/(sen \gamma)$
Applicazione teorema dei seni:
Risolvere il triangolo qualsiasi ABC conoscendo il lato $ a=135,75$ e gli angoli $\alpha=37^\circ 48'32" $ $ \gamma=40^\circ 15'05"$.
Soluzione
Calcolo il lato $c$
$c/(sen\gamma)=a/(sen \alpha)$
$c=(a*sen\gamma)/(sen\alpha)$
$c=143,0808$
Calcolo di $b$
$a/(sen\alpha)=b/(sen \beta)$
$b=(a*sen\beta)/(sen\alpha)$
$b=216,6409$
Si può trovare poi l'area con Erone e trovare le altezze conoscendo i tre lati.
Oppure si può trovare prima una altezza con il primo teorema sui triangoli rettangoli usando il lato noto e un angolo.
$h=a*sen\gamma$
Se in un triangolo qualsiasi si conoscono un lato e due angoli si applica il teorema dei seni che dice:
In un triangolo qualsiasi i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
cioè
$a/(sen\ alpha)=b/(sen \beta)=c/(sen \gamma)$
Applicazione teorema dei seni:
Risolvere il triangolo qualsiasi ABC conoscendo il lato $ a=135,75$ e gli angoli $\alpha=37^\circ 48'32" $ $ \gamma=40^\circ 15'05"$.
Soluzione
Calcolo il lato $c$
$c/(sen\gamma)=a/(sen \alpha)$
$c=(a*sen\gamma)/(sen\alpha)$
$c=143,0808$
Calcolo di $b$
$a/(sen\alpha)=b/(sen \beta)$
$b=(a*sen\beta)/(sen\alpha)$
$b=216,6409$
Si può trovare poi l'area con Erone e trovare le altezze conoscendo i tre lati.
Oppure si può trovare prima una altezza con il primo teorema sui triangoli rettangoli usando il lato noto e un angolo.
$h=a*sen\gamma$
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