Rette tangenti ed elissi
buongiorno a tutti..
scusate se vi disturbo di domenica, ma ho un "piccolo" per non dire enorme problema con un esercizio di matematica.
l'esercizio mi dice di trovare l'equazione dell'elisse che passa per un punto P ed è tangente ad una retta.
non ho capito bene come si svolge...
avevo provato a sostituire le coordinate del punto P nell'equazione dell'elisse usando la regola dello sdoppiamento (perchè l'elisse passa per P, quindi appartiene) e poi mettere tutto a sistema con la retta tangente; ma il risultato non esce..
Qualcuno può aiutarmi per favore?
grazie mille,
saluti
Victor
scusate se vi disturbo di domenica, ma ho un "piccolo" per non dire enorme problema con un esercizio di matematica.
l'esercizio mi dice di trovare l'equazione dell'elisse che passa per un punto P ed è tangente ad una retta.
non ho capito bene come si svolge...
avevo provato a sostituire le coordinate del punto P nell'equazione dell'elisse usando la regola dello sdoppiamento (perchè l'elisse passa per P, quindi appartiene) e poi mettere tutto a sistema con la retta tangente; ma il risultato non esce..
Qualcuno può aiutarmi per favore?
grazie mille,
saluti
Victor
Risposte
Non ho capito se il punto P è il punto di tangenza o no, da come hai impostato il problema sembrerebbe di sì.
Se il punto P appartiene anche alla tangente io userei la formula di sdoppiamento a sistema con l'appartenenza del punto P all'ellisse.
Se P non appartiene alla tangente, ma solo all'ellisse, userei l'appartenenza del punto P all'ellisse a sistema con la condizione di tangenza retta-ellisse.
Se il punto P appartiene anche alla tangente io userei la formula di sdoppiamento a sistema con l'appartenenza del punto P all'ellisse.
Se P non appartiene alla tangente, ma solo all'ellisse, userei l'appartenenza del punto P all'ellisse a sistema con la condizione di tangenza retta-ellisse.
Dopo aver scritto l'equazione dell'ellisse che passa per P ($sqrt(14)$ , $sqrt(3/5)$ ) e che è tangente alla retta $t$ di equazione $y=3$...
ho messo a sistema
$\{(sqrt(14)x)/a^2 + (sqrt(3/5)y)/b^2 = 1,(y=3):}$
ho messo a sistema
$\{(sqrt(14)x)/a^2 + (sqrt(3/5)y)/b^2 = 1,(y=3):}$
Non va.
L'ellisse deve passare per P, quindi $14/a^2+(3/5)/b^2=1
E deve essere tangente alla retta $y=3$, perciò deve passare per $(0,3)$, quindi $0/a^2+9/b^2=1$
Ho semplificato la seconda condizione in quanto un ellisse che è tangente ad una retta parallela agli assi cartesiani deve passare per il punto di intersezione di tale retta con l'asse cartesiano perpendicolare. In generale la condizione di tangenza si traduce mettendo a sistema retta e conica e mponendo che il $Delta$ dell'equazione di secondo grado associata al sistema sia nullo.
L'ellisse deve passare per P, quindi $14/a^2+(3/5)/b^2=1
E deve essere tangente alla retta $y=3$, perciò deve passare per $(0,3)$, quindi $0/a^2+9/b^2=1$
Ho semplificato la seconda condizione in quanto un ellisse che è tangente ad una retta parallela agli assi cartesiani deve passare per il punto di intersezione di tale retta con l'asse cartesiano perpendicolare. In generale la condizione di tangenza si traduce mettendo a sistema retta e conica e mponendo che il $Delta$ dell'equazione di secondo grado associata al sistema sia nullo.
dovrebbe essermi venuto:
$a^2=15$
$b^2=9$
l'esercizio poi continua dicendo:
considera le rette s ed r del fascio di centro $(0,4)$ che sono tangenti a tale ellisse. Calcola l'area del triangolo individuato dalle rette r,s,t.
le equazioni delle rette s ed r dovrebbero essere :
$y-4+t(x-0)$
ora devo intersecare $y-4=0$ e $x=0$ con l'equazione dell'ellisse.. giusto?
$a^2=15$
$b^2=9$
l'esercizio poi continua dicendo:
considera le rette s ed r del fascio di centro $(0,4)$ che sono tangenti a tale ellisse. Calcola l'area del triangolo individuato dalle rette r,s,t.
le equazioni delle rette s ed r dovrebbero essere :
$y-4+t(x-0)$
ora devo intersecare $y-4=0$ e $x=0$ con l'equazione dell'ellisse.. giusto?
No, devi mettere a sistema il fascio con l'equazione dell'ellisse e imporre che il discriminante dell'equazione di secondo grado risolvente il sistema sia nullo.
grazie mille mi è uscita..
Bene. Ciao
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