Rette tangenti all'ellisse.

[p o t t i n a ^^]

Ciao a tutti! Ho bisogno di un aiuto in un esercizio di matematica sull'ellisse:

l'equazione dell'ellisse è:

[math]\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1[/math]

devo trovare:
a) i due fuochi e disegnare il grafico. FATTO.
b) trovare le cordinate del punto A (x;2

[math]\sqrt{3}[/math]

). FATTO.
c) trovare l'equazione della retta tangente all'ellisse nel punto A.
Io ho provato a mettere a sistema l'equazione dell'ellisse e il fascio di rette passanti per il punto A, poi ho provato anche a usare la legge delo sdoppiamento poichè A è un punto dell'ellisse, MA NON MI VIENE!!! :( Dovrebbe uscire 2x+3

[math]\sqrt{3}[/math]

y-24=0.

Poi ci sono altre richieste, ma provo a farle da sola :) Per ora sono ferma qui ihih!
Grazie :)!

Aggiunto 23 ore 15 minuti più tardi:

Grazie mille! Sei stato chiarissimo! ;)
però non ho capito una cosa: una volta che ho trovato la soluzione del quadrato del trinomio, cosa devo fare precisamente?

e poi volevo chiederti se la legge dello sdoppiamento poteva funzionare in un problema del genere visto che il punto A si trova sull'ellisse. e se funziona potresti mostrarmi come si risolve l'espressione che viene, perchè ho provato anche questo modo, ma non mi viene!
l'espressione verrebbe così:

[math]\frac{3x}{36}+\frac{2\sqrt{3}y}{16}=1[/math]

Giusto?

Grazie mille ancora per l'aiuto! :)

[Lotek]

Puoi fare in due modi...

[Primo metodo]:

Devi trovare la tangente nel punto

[math]A(x_0,y_0)[/math]

. Consideri il fascio di rette di equazione

[math]y-y_0=m(x-x0)[/math]

e lo metti in un sistema con l'equazione di una generica curva

[math]f(x)=0[/math]

(che nel tuo caso è un'ellisse). L'ellisse ha equazione

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

.

Hai due punti relativi all'ordinata

[math]y=2\sqrt{3}[/math]

. Essendo

[math]A(\pm 3,2\sqrt{3})[/math]

, il fascio di rette è

[math]y-2\sqrt{3}=m(x\mp 3)[/math]

. Scegli, ad esempio, il punto

[math]A(3,2\sqrt{3})[/math]

. Sostituisci le coordinate nell'equazione del fascio di rette e metti quest'ultimo a sistema con l'equazione dell'ellisse, quindi lo risolvi per sostituzione.

[math]
\left\{\begin{matrix}
y-2\sqrt{3}=m(x-3)
\\
\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1
\end{matrix}\right.
[/math]

[math]
\left\{\begin{matrix}
y=m(x-3)+2\sqrt{3}
\\
\frac{x^2}{36}+\frac{(mx-3m+2\sqrt{3})^2}{16}-1=0
\end{matrix}\right.
[/math]

Devi svolgere il quadrato del trinomio... se non ti ricordi la formula, basta scriverlo come

[math](mx-3m+2\sqrt{3})(mx-3m+2\sqrt{3})[/math]

e moltiplicare elemento per elemento.

Comunque, la formula per calcolare il quadrato di un trinomio è

[math](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/math]

. Quindi...

[math]m^2x^2+9m^2+12-6m^2x+4\sqrt{3}mx-12\sqrt{3}m[/math]

[math]m^2x^2+(4\sqrt{3}m-6m^2)x-12\sqrt{3}m+9m^2+12[/math]

Non ti far spaventare da questa lunga espressione. Sostituisci nell'equazione dell'ellisse nel sistema e troverai un'equazione di secondo grado in

[math]x[/math]

. Imponi

[math]\frac{\Delta}{4}=0[/math]

, cioè

[math]\frac{b^2-4ac}{4}=0[/math]

. Ricaverai il valore di

[math]m[/math]

, che dovrai sostituire al fascio di rette, trovando tra tutte la retta tangente al punto A.

[Secondo metodo]

Quando studierai le derivate parziali, cioè derivate di funzioni a più variabili, che dovrebbero accennare al quinto anno:

Calcoli la derivata parziale

[math]\delta f(x,y)[/math]

dell'equazione dell'ellisse e sostituisci le coordinate del punto A.

Aggiunto 13 ore più tardi:

Di niente, figurati! ;)

Sì, puoi utilizzare la legge dello sdoppiamento. Infatti la formula di sdoppiamento equivale alla derivata dell'equazione dell'ellisse.

In matematica e in fisica, devi abituarti a ragionare senza utilizzare i numeri. Ho notato che hai sostituito subito le coordinate del punto con dei numeri, ma la maggior parte delle volte ciò porta a errori o sviste. Ti spiegherò come arrivare al coefficiente angolare, utilizzando la legge di sdoppiamento, senza sostituire fin da subito le coordinate del punto. Ti farò anche un piccolo discorso introduttivo, che potrebbe esserti utile per capire "il perché fai determinate cose" in matematica.

Come hai fatto giustamente tu, devi sostituire

[math]x^2=x_0x[/math]

e

[math]y^2=y_0y[/math]

, in cui

[math]x_0[/math]

e

[math]y_0[/math]

sono le coordinate del punto A. La legge di sdoppiamento è comoda quando hai equazioni di secondo grado in due o più incognite, come l'equazione dell'ellisse, della circonferenza o dell'iperbole (equazioni chiamate genericamente "coniche", perché si ottengono dall'intersezione di un piano e un cono: se il piano è parallelo alla base del cono ottieni una circonferenza, se il piano è inclinato e taglia la base ottieni una parabola, se il piano è inclinato ma non taglia la base ottieni un'ellisse).



Se non hai ancora studiato il concetto di "derivata", quest'ultima rappresenta in poche parole "quanto cresce il valore di y al crescere del valore di x" (infatti si chiama anche rapporto incrementale). Calcolare la derivata di una funzione (l'equazione dell'ellisse, ad esempio), significa trovare una nuova equazione che descrive il coefficiente angolare delle rette tangenti in tutti i suoi punti. Perciò, una volta calcolata la derivata, basta sostituire semplicemente le coordinate del punto di cui vuoi sapere il coefficiente della retta tangente. Quindi il prossimo anno non utilizzerai più gli odiati sistemi (che serviranno comunque molto per altri argomenti) e utilizzerai solo le derivate.

Per facilitare il calcolo delle derivate, solitamente si impara a memoria una tabella delle derivate fondamentali. Quando le studierai ti sarà tutto più chiaro. Ad esempio, la derivata di

[math]x^a[/math]

è

[math]ax^{a-1}[/math]

.

Nell'equazione dell'ellisse tu hai

[math]x^2[/math]

. La derivata di

[math]x^2[/math]

è

[math]2x[/math]

. Ovviamente questo è solo per farti capire di cosa sto parlando. L'intero calcolo della derivata dell'ellisse è leggermente più lungo, ma adesso non ci interessa. Mentre il calcolo della derivata è generico, la legge dello sdoppiamento è un metodo particolare e diretto di calcolare la derivata per particolari e semplici equazioni come quella dell'ellisse.

Comunque, lasciando perdere le derivate...

Applichiamo la "legge di sdoppiamento" all'equazione dell'ellisse:

1)

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

"Sdoppio" i termini

[math]x^2[/math]

e

[math]y^2[/math]

...

2)

[math]\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1[/math]

Moltiplico entrambi i membri per

[math]a^2b^2[/math]

, così mando a quel paese le frazioni, che danno fastidio.

3)

[math]b^2 x_0x + a^2 y_0y = a^2b^2[/math]

Isolo la

[math]y[/math]

. Abituati a vedere

[math]y[/math]

scritta come

[math]f(x)[/math]

, cioè "funzione di x".

4)

[math]y = \frac{a^2b^2-b^2x_0x}{a^2y_0}[/math]

In questo modo ho l'equazione delle rette tangenti all'ellisse. Adesso devo isolare il coefficiente angolare, cioè il coefficiente della

[math]x[/math]

.

5)

[math]f(x) = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}x+\frac{b^2}{y_0}[/math]

Il coefficiente angolare è:

6)

[math]m = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}[/math]

Infine sostituisco le coordinate del punto

[math]A[/math]

e i valori di

[math]a^2[/math]

e

[math]b^2[/math]

.

7)

[math]m = -\frac{16 \cdot 3}{36 \cdot 2\sqrt{3}} = - \frac{48}{72\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}[/math]

Riprendiamo il fascio di rette con centro in

[math]A(x_0,y_0)[/math]

:

8]

[math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]

E sostituiamo l'espressione che abbiamo ricavano per

[math]m[/math]

:

9)

[math]y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)[/math]

Trasformamo l'equazione in forma implicita:

10)

[math]y-y_0+\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)=0[/math]

Solo adesso possiamo sostituire i valori delle coordinate di

[math]A[/math]

e i coefficienti

[math]a^2[/math]

e

[math]b^2[/math]

.

11)

[math]y-2\sqrt{3}+\frac{16 \cdot 3}{36 \cdot 2\sqrt{3}}(x-3)=0[/math]

[math]y-2\sqrt{3}+\frac{48}{72\sqrt{3}}(x-3)=0[/math]

[math]y-2\sqrt{3}+\frac{2}{3\sqrt{3}}(x-3)=0[/math]

[math]y-2\sqrt{3}+\frac{2}{3\sqrt{3}}x-\frac{2}{\sqrt{3}}=0[/math]

Minimo comune multiplo...

[math]\frac{3\sqrt{3}y-18+2x-6}{3\sqrt{3}}=0[/math]

[math]2x+3\sqrt{3}y-24=0[/math]

Adesso puoi capire il motivo del perché non si deve MAI sostituire subito i termini di un'equazione o di una formula con dei numeri, a meno che non siano necessari alla prosecuzione del problema (come nel caso del sistema).

Per quanto riguarda la risoluzione del problema tramite un sistema, tu sai che lo scopo del sistema è quello di trovare le soluzioni (chiamate anche "zeri" o "radici" ) comuni alle equazioni. Se devi trovare N incognite, devi avere N equazioni nel sistema. Da una equazione ricavi la prima incognita, che andrai a sostituire (se utilizzi il metodo della sostituzione) nelle altre equazioni, e così via. L'equazione dell'ellisse ha due incognite, perciò avrai bisogno di due equazioni nel sistema: l'equazione dell'ellisse e l'equazione del fascio di rette. Sostituendo le coordinate del punto A nell'equazione del fascio di rette, tu trovi tutte le rette che passano per il punto A (chiamato "fascio di rette proprio" ). A te serve solo una tra tutte le rette del fascio: quella che ha un determinato coefficiente angolare m, tangente alla curva (nel tuo caso, l'ellisse). Quindi, dopo aver sostituito le coordinate del punto A all'equazione del fascio generico di rette, ricavi l'incognita y e sostituisci l'espressione nella seconda equazione. Adesso apro una parentesi...

Quando risolvi un'equazione di secondo grado, utilizzi la formula

[math]\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

. Tale formula è ricavata in questo modo:

Una generica equazione di secondo grado a un'incognita è:

[math]ax^2 + bx + c = 0[/math]

Per trovare le soluzioni di questa equazione, devo trovare un modo di abbassare di grado il termine

[math]x^2[/math]

. Ad esempo, potrei trasformare l'equazione di secondo grado nella forma di un quadrato di binomio

[math](a+b)^2[/math]

e poi calcolarne la radice quadrata. Considerando che moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione non cambia il risultato, moltiplico tutto per

[math]4a[/math]

. In tal modo ottengo:

[math]4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0[/math]

Notiamo che

[math]4a^2x^2[/math]

è il quadrato del primo termine

[math]2ax[/math]

. Invece,

[math]4abx[/math]

è il doppio prodotto (

[math]2 \cdot 2ax \cdot b[/math]

). Perciò dobbiamo far in modo di ricavare il quadrato del secondo termine

[math]b^2[/math]

.

Per ricavarlo, utilizziamo uno stratagemma. Sappiamo che sommare e sottrarre contemporaneamente uno stesso termine non fa cambiare il risultato, perciò possiamo aggiungere

[math]b^2-b^2[/math]

all'espressione.

[math]4a^2x + 4abx + b^2 - b^2 + 4ac = 0[/math]

Che possiamo tranquillamente trasformare in:

[math](2ax+b)^2 -b^2 + 4ac = 0[/math]

Quindi

[math](2ax+b)^2=b^2-4ac[/math]

Elimino l'esponente con la radice quadrata di entrambi i membri. Cioè:

[math]2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}[/math]

Porto

[math]b[/math]

al secondo membro, cambiando il segno:

[math]2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}[/math]

Infine divido per

[math]2a[/math]

:

[math]x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

Ecco come è stata ricavata tale formula...

Il termine

[math]b^2-4ac[/math]

è detto "discriminante" perché è ciò che distingue i due possibili valori di

[math]x[/math]

che rendono vera l'equazione. Si indica anche col simbolo

[math]\Delta[/math]

(La lettera dell'alfabeto greco "delta maiuscolo" ). Le soluzioni dell'equazione si chiamano "zeri" dell'equazione perché sono i valori che rendono "nulla" l'espressione. Geometricamente, se disegni l'andamento della funzione (l'equazione), assegnando dei valori alla variabile indipendente x, sono i punti in cui il grafico "interseca" l'asse delle ascisse.

Infatti, se

[math]\Delta>0[/math]

, esistono due zeri distinti

[math]x_1 \not= x_2[/math]

.

[math]\Delta=0[/math]

, esistono due zeri coincidenti

[math]x_1 \equiv x_2[/math]

.

[math]\Delta