Rette tangenti ad ellisse
L'esercizio dice così:
Scrivere le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione $32x^2+3y^2=35$ nei suoi punti di ascissa $1/2$.
Cosa significa quest'ultima frase?
Io suppongo di dover ricondurre a forma normale l'equazione dell'ellisse $32x^2/35 + 3y^2/35 = 1$ e poi di mettere il tutto a sistema con la retta del tipo $y=1/2x$ e vedere cosa viene fuori...è giusto?
Scrivere le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione $32x^2+3y^2=35$ nei suoi punti di ascissa $1/2$.
Cosa significa quest'ultima frase?
Io suppongo di dover ricondurre a forma normale l'equazione dell'ellisse $32x^2/35 + 3y^2/35 = 1$ e poi di mettere il tutto a sistema con la retta del tipo $y=1/2x$ e vedere cosa viene fuori...è giusto?
Risposte
non è necessario ricondursi a forma normale. poni $x=1/2 -> x^2=1/4$ nell'equazione e ricavi se non sbaglio $y^2=9 ->y=+-3$.
a quel punto devi individuare le due rette, passanti rispettivamente per i due punti, che verificano la condizione di tangenza.
è chiaro? ciao.
a quel punto devi individuare le due rette, passanti rispettivamente per i due punti, che verificano la condizione di tangenza.
è chiaro? ciao.
Ciao...allora trovati i punti $P(1/2; 3)$ e $Q(1/2;-3)$ noi come facciamo a trovare il coefficiente angolare per determinare la retta tangente, sapendo che non siamo di fronte a una retta che passa per entrambi i punti ma due e ognuna passa per un solo punto?
devi prendere l'equazione del fascio proprio di rette passante per P (o per Q), metterlo a sistema con l'equazione dell'ellisse, e trovare m imponendo che il discriminante dell'equazione risolutiva sia zero. almeno questo è il metodo standard. non credo che dovrebbe darti problemi. prova e facci sapere. ciao.
[mod="Steven"]Titolo modificato.
Si prega di usare titoli più compatti e che indicano specificatamente l'argomento del thread, per una migliore navigazione di tutti.
Era: "Chi mi spiega cosa dev. trovare in quest. es. di analitica?"[/mod]
Si prega di usare titoli più compatti e che indicano specificatamente l'argomento del thread, per una migliore navigazione di tutti.
Era: "Chi mi spiega cosa dev. trovare in quest. es. di analitica?"[/mod]
"adaBTTLS":
devi prendere l'equazione del fascio proprio di rette passante per P (o per Q), metterlo a sistema con l'equazione dell'ellisse, e trovare m imponendo che il discriminante dell'equazione risolutiva sia zero. almeno questo è il metodo standard. non credo che dovrebbe darti problemi. prova e facci sapere. ciao.
Data l'evidente simmetria del problema, possiamo affermare che, svolgendo i calcoli
troveremo un'equazione di secondo grado pura, ovvero troveremo due coefficienti
angolari opposti.
Inoltre anche le due intercette (ordinate all'origine) saranno opposte, in quanto le due
rette tangenti sono simmetriche rispetto all'asse delle x.
Per la cronaca le due rette hanno equazione
$16x + 9y = 35$
e
$16x - 9y = 35$
$16x + 9y = 35$
e
$16x - 9y = 35$
Altro metodo risolutivo:
visto che le due rette tangenti si incontrano in un punto dell'asse delle x,
possiamo scegliere l'ascissa di tale punto come parametro e imporre che le due
rette tangenti uscenti da tale punto "tocchino" l'ellisse proprio nei due punti assegnati.
visto che le due rette tangenti si incontrano in un punto dell'asse delle x,
possiamo scegliere l'ascissa di tale punto come parametro e imporre che le due
rette tangenti uscenti da tale punto "tocchino" l'ellisse proprio nei due punti assegnati.
Terzo metodo risolutivo:
considerando il sistema di riferimento XY che ha origine nel punto $(1/2,3)$, l'ellisse
assume, ovviamente un'altra equazione cartesiana.
$x = X + 1/2$
$y = Y + 3$
A questo punto è sufficiente considerare solo i termini di grado minore o uguale a 1:
quella è l'equazione della tangente all'ellisse in $(1/2,3)$ con le nuove coordinate X,Y;
per avere l'equazione della tangente rispetto alle "vecchie" coordinate x,y è sufficiente
fare riferimento alle due equazioni scritte.
considerando il sistema di riferimento XY che ha origine nel punto $(1/2,3)$, l'ellisse
assume, ovviamente un'altra equazione cartesiana.
$x = X + 1/2$
$y = Y + 3$
A questo punto è sufficiente considerare solo i termini di grado minore o uguale a 1:
quella è l'equazione della tangente all'ellisse in $(1/2,3)$ con le nuove coordinate X,Y;
per avere l'equazione della tangente rispetto alle "vecchie" coordinate x,y è sufficiente
fare riferimento alle due equazioni scritte.
Quarto metodo risolutivo:
si fa riferimento al fascio di coniche generato dall'ellisse e dalla retta passante per
i punti $(1/2,3)$ e $(1/2,-3)$ contata due volte.
Si cerca la conica degenere del fascio, ovvero la coppia di rette tangenti.
si fa riferimento al fascio di coniche generato dall'ellisse e dalla retta passante per
i punti $(1/2,3)$ e $(1/2,-3)$ contata due volte.
Si cerca la conica degenere del fascio, ovvero la coppia di rette tangenti.
Quinto metodo risolutivo:
si trasforma l'ellisse in una circonferenza (mediante un'affinità);
si calcolano le equazioni delle due rette tangenti nei due punti trasformati;
si considera l'affinità inversa e si trovano finalmente le equazioni delle due rette tangenti.
si trasforma l'ellisse in una circonferenza (mediante un'affinità);
si calcolano le equazioni delle due rette tangenti nei due punti trasformati;
si considera l'affinità inversa e si trovano finalmente le equazioni delle due rette tangenti.
Sesto metodo risolutivo: utilizzando le formule di sdoppiamento.
Grazie a tutti....non sapevo potessero esistere così tanti metodi risolutivi!! 
"Wolf29":
Grazie a tutti....non sapevo potessero esistere così tanti metodi risolutivi!!
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