Rette che staccano una corda sull'ellisse?

[vix962]

Tra le rette parallele alla retta r di equazione 3x-4y=0 determina quelle che staccano una corda di lunghezza 5 sull'ellisse: x^2/16+y^2/9=1. Ci tengo a sottolineare che non voglio svolto l'esercizio ma mi interessa il ragionamento,vi ringrazio anticipatamente

[giammaria2]

La retta data ha $m=3/4$, quindi la sua generica parallela è $y=3/4x+q$. Mettiamo questa retta a sistema con l'ellisse e ricaviamo le due intersezioni, in funzione di $q$. Imponiamo ora che la loro distanza valga $5$ e ne deduciamo $q$.

[vix962]

Ho provato come mi hai suggerito ma non riesco ad esperire il tutto in funzione di q,ho ripetuto i passaggi più volte ma niente

[axpgn]

@giammaria
Prima della tua risposta, ho provato esattamente in quel modo ma ne è uscito un bel guazzabuglio, perciò mi sono detto che deve esistere una soluzione più semplice e quindi lasciamo ad altri ... .
Non esiste una via più "corta"?
Ne avevo pensata un'altra (quattro equazioni con quattro incognite, teoricamente fattibile), ma era molto peggio ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Io ottengo $q=+-3$. Forse hai sbagliato qualche calcolo; per permetterti di trovare l'errore ti do qualche passaggio intermedio. Dopo qualche calcolo il sistema diventa
${(9x^2+12qx+8(q^2-9)=0),(y=3/4x+q):}$
Si ha $Delta/4=36(18-q^2)$ e per brevità di scrittura pongo $delta=sqrt(18-q^2)$; trovo le intersezioni
$A((-2q+2delta)/3,(2q+2delta)/4)$ e $B((-2q-2delta)/3,(2q-2delta)/4)$
L'equazione finale è quindi
$((-2q+2delta)/3-(-2q-2delta)/3)^2+((2q+2delta)/4-(2q-2delta)/4)^2=5^2$
da cui ricavo $16delta^2*25/(9*16)=25$. Semplificando e sostituendo a $delta$ la sua formula ho la soluzione indicata.

Non credo che esistano vie più corte; le altre a cui ho pensato mi sembrano anche peggio o decisamente troppo artificiose. Non ho cronometrato il tempo impiegato, ma i miei calcoli occupano solo mezza pagina, anche se piuttosto fitta.

[axpgn]

Anch'io ero arrivato a quel $delta$ ed anche i miei calcoli erano pochi ma proseguire mi sembrava "stancante" (non impossibile, ne sbagliato): sarà stata la fame ...

Non so se capita anche a te, ma talvolta lascio perdere anche se la strada è quella giusta solo perché "sembra" inutile, talaltra invece si insinua come un tarlo in testa che non ti molla finché non arrivi alla conclusione.
In prima battuta avevo pensato di mettere a sistema le equazioni di due punti dell'ellisse, la distanza tra essi e la formula di $m$ usando sempre gli stessi punti: in teoria funziona, in pratica ...

Cordialmente, Alex