Rette (214940)

[fantasiagianvito]

dato il trapezio di vertici A(-4;2) B(8;2) C(0;8 ) D(-4;8 ) tracciare una retta passante per A che divide il trapezio in due parti uguali

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Fissato un sistema di assi cartesiani

[math]O\,x\,y[/math]

e individuati i punti di coordinate

[math]A(-4,\,2)[/math]

,

[math]B(8,\,2)[/math]

,

[math]C(0,\,8)[/math]

,

[math]D(-4,\,8)[/math]

è lampante il fatto che il
quadrilatero

[math]ABCD[/math]

sia un trapezio rettangolo di area pari a

[math]48[/math]

. Inoltre,
dal momento che il triangolo rettangolo

[math]ACD[/math]

ha area pari a

[math]12[/math]

è evidente
che la retta passante per

[math]A[/math]

tale per cui divide

[math]ABCD[/math]

in due parti di area
pari a

[math]24\\[/math]

deve intersecare

[math]BC[/math]

in un proprio punto interno.

Alla luce di tutto ciò, dato che la retta passante per

[math]B[/math]

e per

[math]C[/math]

ha equazione
cartesiana

[math]\frac{y - 2}{8-2} = \frac{x - 8}{0 - 8}[/math]

ossia

[math]\small y = 8 - \frac{3}{4}\,x[/math]

, un proprio punto interno

[math]P[/math]

ha
generiche coordinate

[math]\left(x, \; 8-\frac{3}{4}\,x\right)[/math]

, per

[math]0 < x < 8\\[/math]

.

Dunque, non rimane che imporre

[math]\text{area}(ABP) = 24\\[/math]

, ossia:

[math]\frac{1}{2}\,\det\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ x & 8-\frac{3}{4}\,x & 1 \end{pmatrix} = 24\\[/math]

da cui segue

[math]36 - \frac{9}{2}\,x = 24 \; \Leftrightarrow \; x = \frac{8}{3}\\[/math]

.

In definitiva, la retta passante per

[math]A(-4,\,2)[/math]

che divide

[math]ABCD[/math]

in due
parti congruenti passa anche per il punto

[math]P\left(\frac{8}{3}, \; 6\right)[/math]

e quindi risulta di equa-
zione cartesiana

[math]\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x + 4}{\frac{8}{3} + 4}[/math]

ossia

[math]y = \frac{3}{5}\,x + \frac{22}{5}\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)