Retta tangente ad una parabola e parallela ad una retta data
Ciao a tutti, è il mio post qui, vi chiedo una mano. A settembre dovrò fare il test per ingengeria e tra le altre cose sto ripassando anche matematica e sono alle coniche (programma del 3° liceo scientifico) ma c'è un esercizio che non riesco a fare.
Scrivere l'equazione della retta tangente a ciascusa delle seguenti parabole e parallela alla retta indicata a fianco (sotto).
1)
2)
3)
Fatte le prime considerazioni e cioè che la condizione di parallelismo è
Scrivere l'equazione della retta tangente a ciascusa delle seguenti parabole e parallela alla retta indicata a fianco (sotto).
1)
[math]y=x^2-4[/math]
[math]y=x[/math]
2)
[math]y=4x-x^2[/math]
[math]4x-2y=1[/math]
3)
[math]y=\frac{1}{16}x^2-x+4 [/math]
[math]x+2y=0[/math]
Fatte le prime considerazioni e cioè che la condizione di parallelismo è
[math]m=m1[/math]
e la condizione di tangenza è [math]b^2-4ac=0[/math]
non so come andare avanti. Help me! :(
Risposte
è facilissimo
innanzittutto sai che la retta data produce un fascio improrio di rette (insieme di rette parallele alla retta data)
l'equazione generica di un fascio improprio è y=mx+q
sapendo che se due rette parallele hanno lo stesso m, sostituendo l m delle rette paralleli all'equazione generica di un fascio improprio ottieni l equazione del fascio improprio genmerato dalla retta data
quindi metti a sistema l equazione del fascio improprio trovato con quella della parabola data
risolvendo con il metodo di sostituzione ottieni una equazione di 2 grado che rappresenta tt i possibili incontri rette del fascio, parabola.alla fine ottieni un equazione di secondo grado
imponi, dato che vuoi la tangenza, il delta nulla b^2-4ac=0
imponendo il delta nullo ottieni un equazione con q, non + parametro ma incognita
la risolvi e trovi i valori di q per i quali la retta è tangente alla parabola
tanti valori di q tante rette tangenti
a questo punto, trovato q o i q, li sostituisci all'equazione del fascio improprio generato dalla retta data e avrai l'equazioni delle rette tangenti
se nn hai capito qualcosa dimmelo che ti aiuto, caso mai, fa un esercizio e vedi
innanzittutto sai che la retta data produce un fascio improrio di rette (insieme di rette parallele alla retta data)
l'equazione generica di un fascio improprio è y=mx+q
sapendo che se due rette parallele hanno lo stesso m, sostituendo l m delle rette paralleli all'equazione generica di un fascio improprio ottieni l equazione del fascio improprio genmerato dalla retta data
quindi metti a sistema l equazione del fascio improprio trovato con quella della parabola data
risolvendo con il metodo di sostituzione ottieni una equazione di 2 grado che rappresenta tt i possibili incontri rette del fascio, parabola.alla fine ottieni un equazione di secondo grado
imponi, dato che vuoi la tangenza, il delta nulla b^2-4ac=0
imponendo il delta nullo ottieni un equazione con q, non + parametro ma incognita
la risolvi e trovi i valori di q per i quali la retta è tangente alla parabola
tanti valori di q tante rette tangenti
a questo punto, trovato q o i q, li sostituisci all'equazione del fascio improprio generato dalla retta data e avrai l'equazioni delle rette tangenti
se nn hai capito qualcosa dimmelo che ti aiuto, caso mai, fa un esercizio e vedi
ehm.. c'è un metodo molto più semplice... derivate per esempio! prova, poi dimmi se riesci. ad esempio, per la prima la derivata è 2x, che deve essere uguale a 1 (la retta tangente è // ad y = x). poi sostituendo il valore di x nell'equazione della parabola, trovi la y, e quindi hai il punto in cui la retta è tangente... quindi avendo punto e coeff angolare trovi la retta
...cmq per ingegneria il grosso del test d'ingresso è più che altro logica e matematica a livello di insiemi, qualcosa di trigonometria, disequazioni (anche con i moduli)...difficilmente si verifica sul programma dell'ultimo anno
...cmq per ingegneria il grosso del test d'ingresso è più che altro logica e matematica a livello di insiemi, qualcosa di trigonometria, disequazioni (anche con i moduli)...difficilmente si verifica sul programma dell'ultimo anno
beh, io frequento il terzo, quindi nn saprei se ci sono derivate, questa è analisi 1
comunque ci provo con mia sorella dp ti faccio sapere ok??
comunque ci provo con mia sorella dp ti faccio sapere ok??
ti posso assicurare che ti semplifica parecchio...
Vi ringrazio per le risposte :lol ma credo di essere tarda :mad cioè... che con una derivata mi si semplifica di parecchio il lavoro l'avevo capito ma devo risolverlo senza e senza non ci riesco. Seguendo il tuo ragionamento IPPLALA forse mi sfugge qualcosa... prendiamo il primo quesito dei tre...
mando a sistema la retta parallela alla retta data e la parabola giusto? quindi ottengo:
e poi mi trovo con:
che però non ha
EDIT:
Ci son riuscita in effetti erano semplici solo che sbagliavo i calcoli grazie :D :beer
mando a sistema la retta parallela alla retta data e la parabola giusto? quindi ottengo:
[math]\begin{cases} y=x+q \\ y=x^2-4
\end{cases} [/math]
\end{cases} [/math]
e poi mi trovo con:
[math]q=x^2-x-4[/math]
che però non ha
[math]b^2-4ac = 0[/math]
e nemmeno soluzioni reali, me lo puoi spiegare meglio? :cryEDIT:
Ci son riuscita in effetti erano semplici solo che sbagliavo i calcoli grazie :D :beer
infatti quando arrivi a q=x^2-x-4 imponi il delta nulla perchè teoricamente quell'equazione rappresenta tt i possibili incontri rette del fascio y=x+q parabola
imponi il delta nulla quindi
b^2-4ac=0
no?
q=x^2-x-4
portando tt a destra
x^2-x-4-q=0
1=a
-1=b
-4-q=c
b^2-4ac=0
1-4(1)(-4-q)=0
ora risolvi questa elementare equazione di 1 grado e ottieni il valore di q
per quel q avrai la retta tangente alla parabola sostituendolo all equazione del fascio improprio generato dalla retta y=x ok?
imponi il delta nulla quindi
b^2-4ac=0
no?
q=x^2-x-4
portando tt a destra
x^2-x-4-q=0
1=a
-1=b
-4-q=c
b^2-4ac=0
1-4(1)(-4-q)=0
ora risolvi questa elementare equazione di 1 grado e ottieni il valore di q
per quel q avrai la retta tangente alla parabola sostituendolo all equazione del fascio improprio generato dalla retta y=x ok?
Un consiglio per xico87: a meno che non te lo chiedano esplicitamente, non risolvere mai i problemi qua con metodi di analisi 1 e calcolo differenziale.
Ricorda che la maggior parte (se non tutti) qui sono studenti di scuole superiori!
Ricorda che la maggior parte (se non tutti) qui sono studenti di scuole superiori!
d'accordo, però il fatto è che per iscriversi all'università ad una facoltà cme ingegneria, normalmente si hanno alle spalle conoscenze di questo tipo (le derivate le ho fatte in quinta, all'istituto si fanno addirittura in quarta...)
xico87 :
d'accordo, però il fatto è che per iscriversi all'università ad una facoltà cme ingegneria, normalmente si hanno alle spalle conoscenze di questo tipo (le derivate le ho fatte in quinta, all'istituto si fanno addirittura in quarta...)
Tu hai ragione ma io le superiori le ho fatte alla ca##o di cane, molto per modo di dire in pratica, e quindi in questi mesi sto cercando di studiare (più che ripetere) quello che non ho studiato al liceo.
Ora sono al programma del terzo... arriverò anche a fare le derivate tra un pò ;)
va bene, però ultimamente mi pare di essere frainteso (non solo da te... che sia merito mio?!:blush). volevo solo dire che la matematica offre strumenti semplici che a volte non vengono usati. ricordo un compito in cui mi era stato dato un esercizio simile, e nn mi è nemmeno passato per la testa di usare le derivate, tanto che nn sono nemmeno riuscito a finirlo perchè mi sono incasinato... immagina che gioia sapere che c'era un metodo molto più semplice, dopo che avevo scritto due facciate di foglio protocollo...
xico hai perfettamente ragione! io frequento il terzo liceo scientifico e lo so benissimo cosa significa uscire pazza e imbrogliarsi per un esercizio troppo lungo. purtroppo si prende sotto gamba il liceo, perciò per la maggiorparte dei casi, si esce che non si nulla o quasi. penso che sia apprezzabile il fatto che ahivelasquez stia ripassando o meglio studiando tt il prgramma di liceo!
certo, come no! è un bene che si metta d'impegno.... apprezzo gli sforzi che fa. pensa che gran parte della gente della mia classe è uscita con voti molto più alti del mio, senza nemmeno sapere cosa fosse una funzione... magari perchè erano benvoluti da alcuni insegnanti (che, caso strano, a me stavano in c**o)... insomma, ormai nemmeno il liceo prepara più per l'università, e chi si ipegna in particolare nelle materie + significative è penalizzato
beh, dipende se il liceo viene fatto come si dovrebbe, prepara, eccome, dandoti le basi necessarie!! ma io credo che nel momento in cui si vada a scegliere, alla fine della scuola media inferiore, l indirizzo liceale o l'istituto da frequentare nei 5 anni successivi, si debba scegliere una scuola quanto + completa...
xico87 :
va bene, però ultimamente mi pare di essere frainteso (non solo da te... che sia merito mio?!:blush). volevo solo dire che la matematica offre strumenti semplici che a volte non vengono usati. ricordo un compito in cui mi era stato dato un esercizio simile, e nn mi è nemmeno passato per la testa di usare le derivate, tanto che nn sono nemmeno riuscito a finirlo perchè mi sono incasinato... immagina che gioia sapere che c'era un metodo molto più semplice, dopo che avevo scritto due facciate di foglio protocollo...
...Ah, che sollievo...allora non sono solo io lo scemo di turno che si fa trecentosettantamilaquarantacinque conti per poi scoprire che c'era un metodo molto più semplice per risolvere l'esercizio...:lol
Per quel che può valere (visto che voi parlare di derivate, e io sono ancora in seconda), nell'ultimo compito di matematica, in un esercizio di geometria euclidea con le circonferenze, la seconda tesi era trovare l'area di un triangolo: io ho applicato due volte il teorema delle secanti (prolungando anche il raggio per far venir fuori la secante) in modo da trovarmi i dati e poi ho applicato la formula di erone per calcolarmela...senza vedere che, tracciando un raggio, potevo trovarmi base e altezza con pitagora ed ero apposto...
Ok, alla fine nel compito ho preso 10, ma chi me lo ha fatto fare????
SuperGaara :
[quote]xico87 :
va bene, però ultimamente mi pare di essere frainteso (non solo da te... che sia merito mio?!:blush). volevo solo dire che la matematica offre strumenti semplici che a volte non vengono usati. ricordo un compito in cui mi era stato dato un esercizio simile, e nn mi è nemmeno passato per la testa di usare le derivate, tanto che nn sono nemmeno riuscito a finirlo perchè mi sono incasinato... immagina che gioia sapere che c'era un metodo molto più semplice, dopo che avevo scritto due facciate di foglio protocollo...
...Ah, che sollievo...allora non sono solo io lo scemo di turno che si fa trecentosettantamilaquarantacinque conti per poi scoprire che c'era un metodo molto più semplice per risolvere l'esercizio...:lol
Per quel che può valere (visto che voi parlare di derivate, e io sono ancora in seconda), nell'ultimo compito di matematica, in un esercizio di geometria euclidea con le circonferenze, la seconda tesi era trovare l'area di un triangolo: io ho applicato due volte il teorema delle secanti (prolungando anche il raggio per far venir fuori la secante) in modo da trovarmi i dati e poi ho applicato la formula di erone per calcolarmela...senza vedere che, tracciando un raggio, potevo trovarmi base e altezza con pitagora ed ero apposto...
Ok, alla fine nel compito ho preso 10, ma chi me lo ha fatto fare????[/quote]
beato te! 10 matematica io lo vedo con il binocolo!! vabbè comunque hai dimostrato di saper fare anche quello!!! poi l importante è il risultato no?
Si certo, ma rode dentro sapere di aver fatto qualcosa che non serviva...:lol
Comunque alla fine ho la media poco più alta del 9; cioè ho preso 10 solo due volte in tutto l'anno in matematica: è abbastanza difficile fare tutto perfetto, di solito qualche erroretto lo faccio! E poi basta sbagliare un conto che ti sballa un esercizio...
Comunque alla fine ho la media poco più alta del 9; cioè ho preso 10 solo due volte in tutto l'anno in matematica: è abbastanza difficile fare tutto perfetto, di solito qualche erroretto lo faccio! E poi basta sbagliare un conto che ti sballa un esercizio...
beato te! fortunatamente non vado male a matematica, anche perchè qst anno mi sono messa sotto a spiegarla! il professore è bravissimo
durante il biennio avevo un professore preparatissimo ma che non sapeva assolutamente spiegare e farti capire...lo stesso nelle medie
ho molte difficoltà perchè mi mancano le basi di geometria elementare!!! ora le sto imparando e capendo, ma è difficilissimo!!! non riuscirò mai a prendere 10 a matematica il mio massimo è stato 8 e 1/2!!! e per qst un po ti invidio, anche perchè sn un po fissata con la scuola (diciamo che rappresenta una delle mie maggiori soddisfazioni)! bravo!
durante il biennio avevo un professore preparatissimo ma che non sapeva assolutamente spiegare e farti capire...lo stesso nelle medie
ho molte difficoltà perchè mi mancano le basi di geometria elementare!!! ora le sto imparando e capendo, ma è difficilissimo!!! non riuscirò mai a prendere 10 a matematica il mio massimo è stato 8 e 1/2!!! e per qst un po ti invidio, anche perchè sn un po fissata con la scuola (diciamo che rappresenta una delle mie maggiori soddisfazioni)! bravo!
oops... sono finito in mezzo ai secchioni...
io non ho mai avuto un 10 manco in condotta :lol
cmq nn stiamo a fare i pignoli, l'importante è capire i procedimenti, poi è anche questione di fortuna nn sbagliare nulla
io non ho mai avuto un 10 manco in condotta :lol
cmq nn stiamo a fare i pignoli, l'importante è capire i procedimenti, poi è anche questione di fortuna nn sbagliare nulla
l unico secchione è supergaara!
l unico secchione è supergaara!
bhè, tu non mi sembri da meno... vedo che quando rispondi lo fai in modo chiaro ed esauriente.. poi supergaara avrà una marcia in più degli altri, questo è innegabile, però nn devi partire dal presupposto che nn riuscirai mai a prendere un 10, anche perchè la geometria elementare nn è così indispensabile, alla fine le cose necessarie sono poche... per molti problemi si può benissimo sfruttare geom analitica
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