Retta tangente a una circonferenza

[morettinax]

Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P assegnato e tangenti alla circonferenza data.

[math]x^2 + y^2 -4x-21=0[/math]

[math]P(-3,15)[/math]

risultato :

[math]y: + o meno \sqrt{2/4}x + 1[/math]

[math]x^2 + y^2 +2x-4y+3=0[/math]

[math]P(-2,1)[/math]

risultato:

[math]y=-x-1[/math]

raga potete aiutarmi a fare qst 2 esercizi?nn riesco proprio a trovarmi.forse nn ho capito qualche passaggio....grazie in anticipo!

Aggiunto 54 minuti più tardi:

sisi...ma nn si risolvono con il sistema?

Aggiunto 5 ore 53 minuti più tardi:

ok ho capito...grazie mille ^_^

[BIT5]

Esercizio 1:

Equazione del fascio di retto di centro P:

[math] y-y_P=m(x-x_P) \to y-15=m(x+3) \to y=mx+3m+15 [/math]

Ora devi trovare le uniche due rette che abbiano distanza dal centro pari al raggio.

Il centro della circonferenza ha coordinate:

[math] x_C=- \frac{a}{2} = - \frac{-4}{2} = 2 [/math]

[math] y_C=- \frac{b}{2} = 0 [/math]

Mentre il raggio e':

[math] r= \sqrt{ x_C^2+y_C^2-c} = \sqrt{4+0+21}= \sqrt{25}=5 [/math]

Per trovare la distanza punto/retta, ti serve la retta in forma implicita (nel caso, il fascio)

[math] y=mx+3m+15 \to mx-y+3m+15=0 [/math]

Ricordiamo dunque che la retta in forma implicita e' della forma

[math] ax+by+c=0 [/math]

e che nel caso, avremo

[math] a=m \\ \\ \\ b=-1 \\ \\ \\ c=3m+15 [/math]

La distanza punto retta si calcola come:

[math] \frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

pertanto sara' (il centro e' 2,0)

[math] \frac{|2m-0+3m+15|}{\sqrt{m^2+1}} \to \frac{|5m+15|}{\sqrt{m^2+1}} [/math]

e dovra' essere uguale a 5 (il raggio)

[math] \frac{|5m+15|}{\sqrt{m^2+1}} = 5 \to |5m+15|=5 \sqrt{m^2+1} [/math]

(ho fatto il minimo comune multiplo e ho semplificato i denominatori, che saranno sempre diversi da zero in quanto

[math] m^2+1 [/math]

e' sempre positivo )

raccolgo un 5

[math] 5|m+3|=5 \sqrt{m^2+1} [/math]

e semplifico i 5

[math] |m+3|=\sqrt{m^2+1} [/math]

Elevo al quadrato

[math] (m+3)^2=\sqrt{m^2+1} \to m^2+6m+9=m^2+1 \to m=- \frac43 [/math]

Il punto e' esterno, ma ricaviamo una sola retta (che trovi sostituendo ad m del fascio il valore trovato)

L'altra retta e' verticale, pertanto non si trova algebricamente, ma considerando che il punto dato dal problema, ha stessa ascissa dell'estermo sinistro della circonferenza.

Ma sei sicura di aver scritto i dati giusti???

Comunque i problemi si risolvono cosi'. Anche il secondo

Aggiunto 33 minuti più tardi:

Risolvere con un sistema, ti porta ad avere dei calcoli vertiginosi.

Infatti dovresti risolvere con un sistema tale che, essendo

[math] y=mx+3m+15 [/math]

sostituendo alla circonferenza alle y il valore trovato, ti darebbe la seguente equazione:

[math] x^2+(mx+3m+15)^2-4x-21=0 [/math]

che come vedi, comporta il quadrato del trinomio (terribile)

comunque svolgiamolo anche cosi' se preferisci..

[math] x^2+m^2x^2+9m^2+225+6m^2x+90m+30mx-4x-21=0 [/math]

E dunque raccogliamo secondo le potenze di x, ottenendo

[math] (1+m^2)x^2+(6m^2+30m-4)x+204+9m^2+90m [/math]

Poni il delta = 0 e hai

[math] (6m^2+30m-4)^2-4(1+m^2)(9m^2+90m+204)=0 [/math]

risolvi l'equazione in m e trovi i valori...

Vedi quanto e' lungo cosi'??

Senza considerare che io mi fermo qui, ma tu (se vuoi) puoi finirlo

[peduz91]

Si possono risolvere anche con il sistema, la circonferenza ha questa particolarità ovvero essendo ogni punto distante dal Centro con la stessa misura allora possono esserci due sistemi di risolverlo o ocn il sistema oppure con la distanza di un punto da una retta(come ha fatto BIT5).