Retta e circonferenza

[sentinel1]

Nel fascio di rette di equazione $y=-2x+k$, determina le rette sulle quali la circonferenza di equazione $x^2+y^2-x+y-2=0$ stacca delle corde di lunghezza $sqrt5$

Ho calcolato le coordinate del centro $C(1/2;-1/2)$.
Ho calcolato il raggio $R=sqrt(5/2)$
Poi ho calcolato la distanza $CH$ del centro dal piede della perpendicolare alla corda: $sqrt(5/4)$.
Ho capito che la corda corrisponde all'equazione con il termine noto $K$ ma mi sono arenato...Non riesco a capire come trovare il parametro K.


Saluti.

[chiaraotta1]

Interseca una retta generica del fascio con la circonferenza. Le coordinate dei due punti d'intersezione dipendono da $k$. Se imponi che il quadrato della distanza tra questi due punti d'intersezione sia $=5$ ottieni un'equazione in $k$.

[sentinel1]

Ciao Chiarotta, siccome non sono molto pratico, andiamo per gradi:

Ho messo a sistema l'equazione generica del fascio $y=-2x+k$ e l'equazione della circonferenza. Per sostituzione, ottengo: $5x^2-(3k+3)x+k^2-2=0$

Fin qui è giusto? Adesso che devo fare?

[Gi81]

Ora trovi quanto vale $x$ (è una equazione di secondo grado parametrica).

[sentinel1]

"Gi8":Ora trovi quanto vale $x$ (è una equazione di secondo grado parametrica).

Ho calcolato il discriminante e ho ottenuto: $-11k^2+6k+43$

Adesso?

[Gi81]

Controllando meglio, direi che l'equazione che hai trovato non è quella giusta:
$x^2+(-2x+k)^2 -x-2x+k-2= 0 => x^2+4x^2+k^2-4kx-3x+k-2=0=> $\[5x^2 -x(4k+3)+(k^2+k-2)=0\]

[sentinel1]

Nella prima equazione ci sono i termini$-x$ e $-2x$ che sommati vengono $-3x$?

[Gi81]

hai perfettamente ragione. ho corretto. Viene anche a te così?

[sentinel1]

ok.
Ho calcolato il discriminante e ottengo: $-4k^2+4k+49$.

Adesso?

[Gi81]

Ripeto: trova quanto vale $x$.

Troverai due valori per $x$ (chiamiamoli $x_1$ e $x_2$), a cui corrisponderanno due valori di $y$ (ricorda che $y= -2x+k$), chiamiamoli $y_1$ e $y_2$.
A questo punto devi trovare la distanza al quadrato tra $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ e porla uguale a $5$.

$5x^2 -x(4k+3)+(k^2+k-2)=0$ ha due soluzioni: $x_(1,2)= [(4k+3)+-sqrt(-4k^2+4k+49)]/10$
Troviamo le $y$ corrispondenti: $y_(1,2)= -[(4k+3)+-sqrt(-4k^2+4k+49)]/5 +k$

Dunque $(x_1-x_2)^2 = 1/25 *(-4k^2+4k+49)$ e $(y_1-y_2)^2 = 4/25 *(-4k^2+4k+49)$

Noi vogliamo che $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 =5$, pertanto deve valere $ 1/25 *(-4k^2+4k+49)+4/25 *(-4k^2+4k+49)=5$.

Si ha $-4k^2+4k+49=25=> -4k^2+4k+24=0 => k^2-k-6=0=> (k+2)(k-3)=0$

[giammaria2]

C'è anche un altro metodo più rapido: imponi che la distanza di $C$ dalla retta valga $sqrt(5/4)=sqrt5/2$.

[sentinel1]

"giammaria":C'è anche un altro metodo più rapido: imponi che la distanza di $C$ dalla retta valga $sqrt(5/4)=sqrt5/2$.

Capito.

Grazie a tutti voi.