Relazioni fra insiemi
Buona giornata
nonostante l'età, 54 anni fra poco, da qualche mese ho voluto riprendere in mano i testi di matematica studiati al Politecnico e, come una volta, me ne sono ri-appassionato. Unica diversità rispetto ad allora, la determinazione a non girare pagina finché tutto non è perfettamente chiaro. Ragion per cui, prima di girar pagina, ecco la domanda.
Testo dell'esercizio n°1
Quale di queste relazioni è vera?
a) A $sup$ B e C $nn$ A $!=$ $\phi$ $rArr$ C $nn$ B = $\phi$
b) A $sup$ B $nn$ C e A $nn$ B = $\phi$ $rArr$ B $nn$ C = $\phi$
c) (A $nn$ B)\C = (A $nn$ C) \ (B $nn$ C)
Non essendo riportati i risultati e visti i dubbi chiedo se le soluzioni riportate possono essere ritenute corrette.
a) Falsa. Nel senso che C $nn$ B può risultare sia vuota che non vuota
b) Falsa. (qui ho i dubbi maggiori) E' sufficiente argomentare che essendo A $sup$ B $nn$ C allora B $nn$ C deve essere un sottoinsieme proprio di A e quindi non può essere B $nn$ C = $\phi$ ? Indipendentemente dalla seconda relazione A $nn$ B = $\phi$ ? Oppure i simbolo $sup$ non è così rigido?
c) Falsa. Io trovo che lo sviluppo del 1° membro da A $nn$ B $nn$ $not$ C mentre dal secono ricavo A $nn$ C $nn$ $not$ B
Esercizio 2)
Sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba a quelli e soltanto a quelli che non se la radono da soli. Dimostrare che o B = $\phi$, oppure i barbieri appartenenti a B hanno barbe ... chilometriche.
Essendo i barbieri di Lodi più di uno (così si evince dal testo) non possono tagliarsele reciprocamente rispettando la consegna? Dove è l'errore?
Scusate la probabile banalità dei quesiti: sarei grato a chiunque potesse aiutarmi.
nonostante l'età, 54 anni fra poco, da qualche mese ho voluto riprendere in mano i testi di matematica studiati al Politecnico e, come una volta, me ne sono ri-appassionato. Unica diversità rispetto ad allora, la determinazione a non girare pagina finché tutto non è perfettamente chiaro. Ragion per cui, prima di girar pagina, ecco la domanda.
Testo dell'esercizio n°1
Quale di queste relazioni è vera?
a) A $sup$ B e C $nn$ A $!=$ $\phi$ $rArr$ C $nn$ B = $\phi$
b) A $sup$ B $nn$ C e A $nn$ B = $\phi$ $rArr$ B $nn$ C = $\phi$
c) (A $nn$ B)\C = (A $nn$ C) \ (B $nn$ C)
Non essendo riportati i risultati e visti i dubbi chiedo se le soluzioni riportate possono essere ritenute corrette.
a) Falsa. Nel senso che C $nn$ B può risultare sia vuota che non vuota
b) Falsa. (qui ho i dubbi maggiori) E' sufficiente argomentare che essendo A $sup$ B $nn$ C allora B $nn$ C deve essere un sottoinsieme proprio di A e quindi non può essere B $nn$ C = $\phi$ ? Indipendentemente dalla seconda relazione A $nn$ B = $\phi$ ? Oppure i simbolo $sup$ non è così rigido?
c) Falsa. Io trovo che lo sviluppo del 1° membro da A $nn$ B $nn$ $not$ C mentre dal secono ricavo A $nn$ C $nn$ $not$ B
Esercizio 2)
Sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba a quelli e soltanto a quelli che non se la radono da soli. Dimostrare che o B = $\phi$, oppure i barbieri appartenenti a B hanno barbe ... chilometriche.
Essendo i barbieri di Lodi più di uno (così si evince dal testo) non possono tagliarsele reciprocamente rispettando la consegna? Dove è l'errore?
Scusate la probabile banalità dei quesiti: sarei grato a chiunque potesse aiutarmi.
Risposte
esercizio n°1
La b è vera, se $A sup B nn C$ e $A nn B = \phi$ poiché tutti gli elementi di $B nn C$ stanno in A, ma contemporaneamente nessun elemento di B appartiene ad A, significa che $B nn C = \phi$
Esercizio 2)
Il testo è mal posto, si tratta di un problema classico, che si chiama "problema del postino cinese". Il testo avrebbe dovuto essere:
Sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba a quelli e soltanto a quelli che non sono in grado di raderla da soli. Dimostrare che o B = $\phi$, oppure i barbieri appartenenti a B hanno barbe ... chilometriche.
La questione è che se X fa il barbiere è sicuramente in grado di radere la barba, tuttavia X non può radersi perché può radere solo quelli che non sono in grado di farlo da soli e quindi non se stesso.
La b è vera, se $A sup B nn C$ e $A nn B = \phi$ poiché tutti gli elementi di $B nn C$ stanno in A, ma contemporaneamente nessun elemento di B appartiene ad A, significa che $B nn C = \phi$
Esercizio 2)
Il testo è mal posto, si tratta di un problema classico, che si chiama "problema del postino cinese". Il testo avrebbe dovuto essere:
Sia B l'insieme dei barbieri di Lodi che radono la barba a quelli e soltanto a quelli che non sono in grado di raderla da soli. Dimostrare che o B = $\phi$, oppure i barbieri appartenenti a B hanno barbe ... chilometriche.
La questione è che se X fa il barbiere è sicuramente in grado di radere la barba, tuttavia X non può radersi perché può radere solo quelli che non sono in grado di farlo da soli e quindi non se stesso.
amelia, il problema da te citato non è il problema del barbiere? il paradosso di Russel?
Grazie per la risposta.
Ok il quesito n° 2
Per il b) del n° 1 persiste il dubbio (nel senso che ancora non saprei esattamente come comportarmi in una analoga situazione) per cui provo a chiarire meglio il motivo dello stallo.
La risposta vero è la prima che avevo data. Successivamente, riguardando soddisfatto come un bravo scolaretto l'esercizio appena fatto, ho fatto caso al primo predicato A $sup$ B $nn$ C e mi sono chiesto: è accettabile la conclusione $rArr$ B $nn$ C = $\phi$ con il simbolo $sup$ del primo predicato? Se fosse stato A $supe$ B $nn$ C non mi sarebbe sorto il dubbio.
Il libro da cui è tratto l'esercizio (un po' datato a dire il vero) qualche pagina prima recita "Un sottoinsieme di A distinto da $\phi$ e da A stesso si dice sottoinsieme proprio; se B è un sottoinsieme proprio di A scriveremo B $sub$ A (oppure A $sup$ B)".
La domanda, probabilmente mal espressa nel precedente post, era: può un risultato conseguito a valle di un ragionamento diventare "incongruente" con un predicato a monte dello stesso al punto da far diventare falsa una relazione altrimenti vera? (Per questo parlavo di rigidità dell'operatore di inclusione stretta $sup$).
Prima di affidarmi a "Matematicamente" ho cercato una risposta nei testi che ho disposizione e su internet e, se qualcuno scrive senza problemi $\phi$ $sub$ A , altri inorridiscono se non viene scritto $\phi$ $sube$ A : esattamente quel che non mi sarei aspettato per poter risolvere con certezza i problemi e girare tranquillamente pagina.
Tuttora non saprei che fare.
Ok il quesito n° 2
Per il b) del n° 1 persiste il dubbio (nel senso che ancora non saprei esattamente come comportarmi in una analoga situazione) per cui provo a chiarire meglio il motivo dello stallo.
La risposta vero è la prima che avevo data. Successivamente, riguardando soddisfatto come un bravo scolaretto l'esercizio appena fatto, ho fatto caso al primo predicato A $sup$ B $nn$ C e mi sono chiesto: è accettabile la conclusione $rArr$ B $nn$ C = $\phi$ con il simbolo $sup$ del primo predicato? Se fosse stato A $supe$ B $nn$ C non mi sarebbe sorto il dubbio.
Il libro da cui è tratto l'esercizio (un po' datato a dire il vero) qualche pagina prima recita "Un sottoinsieme di A distinto da $\phi$ e da A stesso si dice sottoinsieme proprio; se B è un sottoinsieme proprio di A scriveremo B $sub$ A (oppure A $sup$ B)".
La domanda, probabilmente mal espressa nel precedente post, era: può un risultato conseguito a valle di un ragionamento diventare "incongruente" con un predicato a monte dello stesso al punto da far diventare falsa una relazione altrimenti vera? (Per questo parlavo di rigidità dell'operatore di inclusione stretta $sup$).
Prima di affidarmi a "Matematicamente" ho cercato una risposta nei testi che ho disposizione e su internet e, se qualcuno scrive senza problemi $\phi$ $sub$ A , altri inorridiscono se non viene scritto $\phi$ $sube$ A : esattamente quel che non mi sarei aspettato per poter risolvere con certezza i problemi e girare tranquillamente pagina.
Tuttora non saprei che fare.
ciao, pensiamo al b), ci provo.
Lo scrivo in una forma equivalente
$B nn C sube A . BnnC!=A ^^ AnnB=\phi => BnnC=\phi$
Procediamo per assurdo :
Supponiamo che $BnnC!=\phi$ e che $BnnCsubeA , BnnC!=A, AnnB=\phi$
Per ipotesi, $BnnC={x| x in B ^^ x in C}$ è non vuoto.
Inoltre tale insieme è formato da gli elementi comuni sia ad $B$ che a $C$.
Abbiamo inoltre che $BnnC sube A$ . Quindi se $x in BnnC => x in A$.
E dunque, qualche elemento di $B$ appartiene ad $A$,e quindi $AnnB!=\phi$ , il che contraddice il fatto che avevamo supposto che $AnnB=\phi$. Ciò mostra allora che l'implicazione è vera.
Lo scrivo in una forma equivalente
$B nn C sube A . BnnC!=A ^^ AnnB=\phi => BnnC=\phi$
Procediamo per assurdo :
Supponiamo che $BnnC!=\phi$ e che $BnnCsubeA , BnnC!=A, AnnB=\phi$
Per ipotesi, $BnnC={x| x in B ^^ x in C}$ è non vuoto.
Inoltre tale insieme è formato da gli elementi comuni sia ad $B$ che a $C$.
Abbiamo inoltre che $BnnC sube A$ . Quindi se $x in BnnC => x in A$.
E dunque, qualche elemento di $B$ appartiene ad $A$,e quindi $AnnB!=\phi$ , il che contraddice il fatto che avevamo supposto che $AnnB=\phi$. Ciò mostra allora che l'implicazione è vera.
per il c,
proposizione :
$(A nn B)\\C = (A nn C)\\ (B nn C)$
qui abbiamo un'uguaglianza tra insiemi . Dobbiamo in buona sostanza provare una doppia inclusione
devi vedere se vale contemporaneamente 1)$(A nn B)\C sube (A nn C) \ (B nn C)$
2) $ (A nn C) \\ (B nn C) sube (AnnB)\\C$
provaci
proposizione :
$(A nn B)\\C = (A nn C)\\ (B nn C)$
qui abbiamo un'uguaglianza tra insiemi . Dobbiamo in buona sostanza provare una doppia inclusione
devi vedere se vale contemporaneamente 1)$(A nn B)\C sube (A nn C) \ (B nn C)$
2) $ (A nn C) \\ (B nn C) sube (AnnB)\\C$
provaci
Scusa, ma (per il b) non è
A $sup$ (B $nn$ C)
equivalente a
A $supe$ (B $nn$ C) , (B $nn$ C) $!=$ A ma anche (B $nn$ C) $!=$ $\phi$ (che è il "pezzetto" che mi crea il problema rispetto all'implicazione finale) secondo la definizione che ho riportato nel post precedente?
Se così non è, non ho più alcun problema.
Adesso è tardi, domani ci provo col c) come mi hai suggerito.
Vorrei acquistare di Lolli: guida alla teoria degli insiemi: me lo consigli?
A $sup$ (B $nn$ C)
equivalente a
A $supe$ (B $nn$ C) , (B $nn$ C) $!=$ A ma anche (B $nn$ C) $!=$ $\phi$ (che è il "pezzetto" che mi crea il problema rispetto all'implicazione finale) secondo la definizione che ho riportato nel post precedente?
Se così non è, non ho più alcun problema.
Adesso è tardi, domani ci provo col c) come mi hai suggerito.
Vorrei acquistare di Lolli: guida alla teoria degli insiemi: me lo consigli?
Penso di aver chiarito il dubbio
Ho recuperato un buon testo liceale dove sta scritto a chiare lettere che è corretto scrivere $phi$ $sub$ A purchè sia A $!=$ $phi$ così come che B $sub$ A implica B $sube$ A mentre non è vero il contrario.
Quindi, riassumendo,
$B sube A = (B sub A) vv (B = A)$
da cui si evince che, se è vero $(B sub A)$ allora è vero anche $(B sube A)$
Inoltre
$B sub A$ equivale a $AA b, b in A ^^ EE a: a notin B$
senza alcuna relazione con insiemi propri o impropri
per cui, da definizione, è assolutamente corretto scrivere $phi$ $sub$ A purchè sia A $!=$ $phi$
Anche la definizione che avevo riportato, e che mi aveva fuorviato, in effetti è corretta
"Un sottoinsieme di A distinto da $phi$ e da A stesso si dice sottoinsieme proprio; se B è un sottoinsieme proprio di A scriveremo $B sub A$ (oppure $A sup B$ ) "
perchè nulla dice su come si devono notare le inclusioni dei sottoinsiemi impropri.
Sono veramente arrugginito!
Mi raccomando, se avessi scritto qualche altra sciocchezza vi prego di farmela notare: delle figuracce non ho alcuna paura (dopo 35 anni di "non matematica" le ritengo pressapoco scontate) mentre mi spaventa l'idea di camminare sulla mobile sabbia piuttosto che sulla solida roccia.
Alla prossima
Ho recuperato un buon testo liceale dove sta scritto a chiare lettere che è corretto scrivere $phi$ $sub$ A purchè sia A $!=$ $phi$ così come che B $sub$ A implica B $sube$ A mentre non è vero il contrario.
Quindi, riassumendo,
$B sube A = (B sub A) vv (B = A)$
da cui si evince che, se è vero $(B sub A)$ allora è vero anche $(B sube A)$
Inoltre
$B sub A$ equivale a $AA b, b in A ^^ EE a: a notin B$
senza alcuna relazione con insiemi propri o impropri
per cui, da definizione, è assolutamente corretto scrivere $phi$ $sub$ A purchè sia A $!=$ $phi$
Anche la definizione che avevo riportato, e che mi aveva fuorviato, in effetti è corretta
"Un sottoinsieme di A distinto da $phi$ e da A stesso si dice sottoinsieme proprio; se B è un sottoinsieme proprio di A scriveremo $B sub A$ (oppure $A sup B$ ) "
perchè nulla dice su come si devono notare le inclusioni dei sottoinsiemi impropri.
Sono veramente arrugginito!
Mi raccomando, se avessi scritto qualche altra sciocchezza vi prego di farmela notare: delle figuracce non ho alcuna paura (dopo 35 anni di "non matematica" le ritengo pressapoco scontate) mentre mi spaventa l'idea di camminare sulla mobile sabbia piuttosto che sulla solida roccia.
Alla prossima
pare che non hai detto fesserie.
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