Relazione tra triangolo e raggio circonferenza inscritta
che relazione c'è tra un triangolo e il raggio della circonferenza inscritta?
Risposte
che il raggio è l'apotema del triangolo, ossia quel segmento la cui distanza si ottiene moltiplicando per un numero fisso (in questo caso 0,289) la lunghezza del lato del triangolo
Se il triangolo è equilatero il raggio è $r=l*(sqrt3)/6$ poiché incentro/baricentro/ortocentro coincidono e il raggio è $1/3$ della mediana-altezza-bisettrice.
Se il triangolo è un triangolo generico vale la relazione $r=S/p$ ovvero il raggio è il rapporto tra la superficie e il semiperimetro.
Se il triangolo è un triangolo generico vale la relazione $r=S/p$ ovvero il raggio è il rapporto tra la superficie e il semiperimetro.
"RadicalTwo":
che il raggio è l'apotema del triangolo, ossia quel segmento la cui distanza si ottiene moltiplicando per un numero fisso (in questo caso 0,289) la lunghezza del lato del triangolo
? Scusami ma non ho capito che cosa stai dicendo... Indubbiamente il raggio della circoferenza inscritta è l'apotema, ma cosa vuoi dire con
"RadicalTwo":?
quel segmento la cui distanza
Semmai la cui "lunghezza" (scusa per l'eccessiva dose di pignoleria, ma sai com'è, non è mai troppa in Matematica
).Ovviamente, è corretto ciò che dice la mitica Amelia. Mi permetto soltanto di aggiungere che, nel caso particolare di un triangolo rettangolo cui è inscritta una circonferenza, mi pare valga la relazione $r=(c_1+c_2-i)/2$ dove $c_1,c_2$ sono i due cateti e $i$ l'ipotenusa e ovviamente $r$ è il raggio della circonferenza inscritta (ripeto che non sono sicurissimo, mi pare sia qualcosa del genere...)
Ciao.
Ah scusatemi. Mi sono espresso male e solo che l'ho scritta di fretta. Comunque l'ultima formula del triangolo equilatero non la sapevo ^^.
"RadicalTwo":
Ah scusatemi. Mi sono espresso male e solo che l'ho scritta di fretta. Comunque l'ultima formula del triangolo equilatero non la sapevo ^^.
Nessun problema, figurati.
Comunque, ho controllato ora a casa sui miei libri e la formula che ho scritto io è corretta (la si può anche dimostrare con semplicità, ricordando soltanto una nota proprietà delle due tangenti ad un circonferenza passanti per un punto esterno ad essa).
A presto, Paolo
Una formula in più da mettere nel Formulario^^
Scusate di nuovo: come si fa ad inserire un'equazione, nel modo simile ad equation editor, in questo forum?
"RadicalTwo":
Scusate di nuovo: come si fa ad inserire un'equazione, nel modo simile ad equation editor, in questo forum?
Da' un'occhiata qui, è molto semplice
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Grazie molte! Dovrebbe essere il codice ASCII
Un triangolo circoscritto ad una circonferenza ha le altezze relative ai lati che sono tre raggi; detti a,b,c i lati dei triangoli ottenuti congiungendo i vertici del triangolo circoscritto al centro del cerchio, si ricava l'area per ognuno di essi che è: $A_1\ = 1/2\ a*r$, $A_2\ =1/2\ b*r$ e $A_3\ =\ 1/2\ c*r$; sommando tutti e tre questi triangoli si ricava: $A_1+A_2+A_3\ =\ 1/2\ r*(a+b+c)$. Se si indica con P la semisomma dei lati, ovvero il semiperimetro, e con $A_t$ la superficie totale, si ottiene: $A_t\ =\ P*r$. Tale formula consente di trovare il raggio del cerchio inscritto ad un triangolo noto il perimetro e l'area del triangolo stesso.
Ricordando che nel triangolo equilatero il perimetro è 3l e il semiperiodo e p = 3/2l, applicando Erone si ha: $A\ = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))\ =\ sqrt(3/2l(3/2l-l)(3/2l-l)(3/2l-l))\ =\ sqrt(3/2l(1/2l)^3)\ (1)\ =\ sqrt(3/2l*1/8l^3)\ =\ sqrt(3)/4l^2$, dividendo quest'area per il semiperiodo si ricava il raggio: $sqrt(3)/4l^2*2/(3l)\ =\ sqrt(3)/6l$ quando il triangolo circoscritto è, appunto, un triangolo equilatero.
Trovai interessante l'applicazione di tale formula ai triangoli isosceli per i cui lati maggiori è possibile trovare la proporzione con la base, ad esempio se k è la base i lati maggiori sono certamente $tk$, con $t$ reale, ovviamente maggiore di 1 (se t = 1 il triangolo è equilatero); in tal modo, il perimetro è $P\=\ 2tk+k\ =\ k(2t+1)$ e semiperimetro: $p\ =\ k/2(2t+1)$, essendo l'area $A\ =\ sqrt(k/2(2t+1)(k/2(2t+1)-tk)^2(k/2(2t+1)-k))$. Se t è 1 (caso del triangolo equilatero) si ricava:
$A\ =\ sqrt(k/2(3)(k/2(3)-k)^3)$ e si riconosce che la $(1)$ è un caso particolare.
Ricordando che nel triangolo equilatero il perimetro è 3l e il semiperiodo e p = 3/2l, applicando Erone si ha: $A\ = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))\ =\ sqrt(3/2l(3/2l-l)(3/2l-l)(3/2l-l))\ =\ sqrt(3/2l(1/2l)^3)\ (1)\ =\ sqrt(3/2l*1/8l^3)\ =\ sqrt(3)/4l^2$, dividendo quest'area per il semiperiodo si ricava il raggio: $sqrt(3)/4l^2*2/(3l)\ =\ sqrt(3)/6l$ quando il triangolo circoscritto è, appunto, un triangolo equilatero.
Trovai interessante l'applicazione di tale formula ai triangoli isosceli per i cui lati maggiori è possibile trovare la proporzione con la base, ad esempio se k è la base i lati maggiori sono certamente $tk$, con $t$ reale, ovviamente maggiore di 1 (se t = 1 il triangolo è equilatero); in tal modo, il perimetro è $P\=\ 2tk+k\ =\ k(2t+1)$ e semiperimetro: $p\ =\ k/2(2t+1)$, essendo l'area $A\ =\ sqrt(k/2(2t+1)(k/2(2t+1)-tk)^2(k/2(2t+1)-k))$. Se t è 1 (caso del triangolo equilatero) si ricava:
$A\ =\ sqrt(k/2(3)(k/2(3)-k)^3)$ e si riconosce che la $(1)$ è un caso particolare.
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