Relazione senx e tanx
Buongiorno.
Nelle relazioni fra le grandezze goniometriche ho:
$cosx=\pm1/sqrt(1+tanx^2)$ che ricavo partendo dalla relazione $sen^2x+cos^2x=1$ e
$senx=\pm|tanx|/sqrt(1+tanx^2)$ che ho provato a ricavare partendo dalle relazioni indicate sopra:
Ottengo $sen^2x+(1)/(1+tan^2x)=1$
da cui $sen^2x=(tan^2x)/(1+tan^2x)$
Estraggo la radice e ottengo $senx=\pm|tanx|/sqrt(1+tanx^2)$
A numeratore metto il modulo perchè è la radice di un quadrato e non conosco il segno di $tanx$
Forse sarà una sciocchezza ma perchè metto il $\pm$ se so che $sqrt(4)=2$ cioè il valore di un radicale è solo positivo?
Perchè in questo caso a causa della $sqrt(1+tanx^2)$ prendo il $\pm$ cioè sia il valore positivo che quello negativo ?
Scusate per la domanda probabilmente assurda e grazie.
Nelle relazioni fra le grandezze goniometriche ho:
$cosx=\pm1/sqrt(1+tanx^2)$ che ricavo partendo dalla relazione $sen^2x+cos^2x=1$ e
$senx=\pm|tanx|/sqrt(1+tanx^2)$ che ho provato a ricavare partendo dalle relazioni indicate sopra:
Ottengo $sen^2x+(1)/(1+tan^2x)=1$
da cui $sen^2x=(tan^2x)/(1+tan^2x)$
Estraggo la radice e ottengo $senx=\pm|tanx|/sqrt(1+tanx^2)$
A numeratore metto il modulo perchè è la radice di un quadrato e non conosco il segno di $tanx$
Forse sarà una sciocchezza ma perchè metto il $\pm$ se so che $sqrt(4)=2$ cioè il valore di un radicale è solo positivo?
Perchè in questo caso a causa della $sqrt(1+tanx^2)$ prendo il $\pm$ cioè sia il valore positivo che quello negativo ?
Scusate per la domanda probabilmente assurda e grazie.
Risposte
Ciao, la domanda non è assurda. Quello che dici sulla definizione di radicale è corretto ma qui devi tenere presente che il segno lo aggiungi "a posteriori" in base al quadrante nel quale si trova l'angolo che stai considerando.
A quanto detto da minomic aggiungo qualche precisazione. Indipendentemente dal particolare problema, dopo un $+-$ non si mette il valore assoluto perché, qualunque sia il segno del numero, ci vanno bene tutti i segni: $+-|x|$ dice la stessa cosa di $+-x$. Di conseguenza la formula è
$sinx=+-(tgx)/sqrt(1+tg^2x)$
Se poi osserviamo anche la formula del coseno e ricordiamo che $sinx/cosx=+tgx$ possiamo aggiungere che le formule di seno e coseno hanno entrambe il $+$ o entrambe il $-$: hanno il $+$ nei quadranti in cui il coseno è positivo ed il $-$ negli altri.
$sinx=+-(tgx)/sqrt(1+tg^2x)$
Se poi osserviamo anche la formula del coseno e ricordiamo che $sinx/cosx=+tgx$ possiamo aggiungere che le formule di seno e coseno hanno entrambe il $+$ o entrambe il $-$: hanno il $+$ nei quadranti in cui il coseno è positivo ed il $-$ negli altri.
Vediamo se ho capito.
Se per esempio $x=45°$, la formula dice $sen45°=pm(tg45°)/(sqrt(1+tg^(2)45°))$
$tg45°=+1$ e $sen45°=+1/sqrt(2)$, per cui della formula dovrei tenere sono il segno +.
Se $x=135°$, $sen135°=pm(tg135°)/(sqrt(1+tg^(2)135°))$
$tg135°=-1$ ma $sen135°=+1/sqrt(2)$ per cui della formula dovrei prendere il segno -.
Quindi ricapitolando della formula tengo il segno $+$ se sono nel primo e quarto quadrante, il segno $-$ nel secondo e terzo quadrante.
Un simile ragionamento si deve fare anche con la formula del coseno,
dove terrò il segno $+$ nel primo e secondo quadrante, il segno $-$ nel terzo e quarto quadrante.
Ho capito correttamente?
Grazie mille, non ci sarei riuscito da solo.
Grazie anche per l'osservazione dell'inutilità modulo in concomitanza del $pm$!
Se per esempio $x=45°$, la formula dice $sen45°=pm(tg45°)/(sqrt(1+tg^(2)45°))$
$tg45°=+1$ e $sen45°=+1/sqrt(2)$, per cui della formula dovrei tenere sono il segno +.
Se $x=135°$, $sen135°=pm(tg135°)/(sqrt(1+tg^(2)135°))$
$tg135°=-1$ ma $sen135°=+1/sqrt(2)$ per cui della formula dovrei prendere il segno -.
Quindi ricapitolando della formula tengo il segno $+$ se sono nel primo e quarto quadrante, il segno $-$ nel secondo e terzo quadrante.
Un simile ragionamento si deve fare anche con la formula del coseno,
dove terrò il segno $+$ nel primo e secondo quadrante, il segno $-$ nel terzo e quarto quadrante.
Ho capito correttamente?
Grazie mille, non ci sarei riuscito da solo.
Grazie anche per l'osservazione dell'inutilità modulo in concomitanza del $pm$!
Per il seno hai capito correttamente, ma anche per il coseno prendi il $+$ nel primo e quarto quadrante ed il $-$ nel secondo e terzo; come ti ho detto, nelle due formule il segno è lo stesso.
Puoi anche fare questo ragionamento:
- $x=45°$ è in un quadrante in cui il coseno ha il $+$, quindi in entrambe le formule c'è il $+$;
- $x=135°$ è in un quadrante in cui il coseno ha il $-$, quindi in entrambe le formule c'è il $-$.
Puoi anche fare questo ragionamento:
- $x=45°$ è in un quadrante in cui il coseno ha il $+$, quindi in entrambe le formule c'è il $+$;
- $x=135°$ è in un quadrante in cui il coseno ha il $-$, quindi in entrambe le formule c'è il $-$.
Ora credo di aver capito proprio bene.
Grazie mille!
Grazie mille!
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