Relazione, proprietà della relazione $x*y<1$ in $Q^+$
Nell'insieme $Q^+$ è definita la seguente relazione $x rel$ $y <=> x*y<1$
di quali proprietà (riflessiva, simm/antisimm, transitiva) gode tale relazione?
Il risultato è solo simmetrica. Ma non capisco perché non è rifelssiva
di quali proprietà (riflessiva, simm/antisimm, transitiva) gode tale relazione?
Il risultato è solo simmetrica. Ma non capisco perché non è rifelssiva
Risposte
Perché ti basta prendere $x \in QQ : x >=1 $ per ottenere $x^2 = x*x>=1$
Il quadrato di un numero razionale positivo è strettamente più piccolo di 1 se e solo se il numero è compreso tra 0 e 1 escluso.
scusa wizard non avevo visto la tua risposta.
"GreenLink":
scusa wizard non avevo visto la tua risposta.
Scusa? E per cosa?! Più risposte ci sono, meglio è,
innanzi tutto grazie delle risposte.
Ma allora secondo questo ragionamento non dovrebbe essere nemmeno simmetrica
Ma allora secondo questo ragionamento non dovrebbe essere nemmeno simmetrica
Davvero? E perché?
Data una relazione $\mathfrak{R}$ su un insieme $X$ questa è simmetrica sse $\forall a,b \in X, a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{R}a$: ciò premesso, basta notare che il prodotto è commutativo.
Data una relazione $\mathfrak{R}$ su un insieme $X$ questa è simmetrica sse $\forall a,b \in X, a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{R}a$: ciò premesso, basta notare che il prodotto è commutativo.
forse sbaglio nel ragionamento.
Perché per far vedere che non è riflessiva basta prendere $x>=1$, ok.
E, se nel caso della simmetria scelgo, ad esempio: $x = 19/2$ e $y = 1/2$... è vero che $x*y = y*x$ ma la relazione non è più verificata perché il prodotto è maggiore di 1
Perché per far vedere che non è riflessiva basta prendere $x>=1$, ok.
E, se nel caso della simmetria scelgo, ad esempio: $x = 19/2$ e $y = 1/2$... è vero che $x*y = y*x$ ma la relazione non è più verificata perché il prodotto è maggiore di 1
"raff5184":
forse sbaglio nel ragionamento.
Perché per far vedere che non è riflessiva basta prendere $x>=1$, ok.
E, se nel caso della simmetria scelgo, ad esempio: $x = 19/2$ e $y = 1/2$... è vero che $x*y = y*x$ ma la relazione non è più verificata perché il prodotto è maggiore di 1
E allora? Ex falso sequitur quodlibet.
La definizione dice che una relazione è simmetrica se per ogni coppia di elementi di $X$ vale l'implicazione $a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{a}$: se l'antecedente è falso, l'implicazione è banalmente vera.
Scusa, sarà banale ma non ti seguo
Detta in parole povere:
Ogni volta che $a\mathfrak{R}b $ allora anche $b\mathfrak{R}a$, quello che succede se $a$ e $b$ non stanno in relazione non interessa.
Nel caso di $19/2$ e $1/2$ questi non stanno in relazione tra di loro, siccome $19/2$ non sta in relazione con $1/2$, non devo neppure controllare se $1/2$ sta in relazione con $19/2$.
Non confondere la proprietà simmetrica con la tricotomia in cui dati due elementi $a$ e $b$ deve valere necessariamente una delle tre condizioni:
Ogni volta che $a\mathfrak{R}b $ allora anche $b\mathfrak{R}a$, quello che succede se $a$ e $b$ non stanno in relazione non interessa.
Nel caso di $19/2$ e $1/2$ questi non stanno in relazione tra di loro, siccome $19/2$ non sta in relazione con $1/2$, non devo neppure controllare se $1/2$ sta in relazione con $19/2$.
Non confondere la proprietà simmetrica con la tricotomia in cui dati due elementi $a$ e $b$ deve valere necessariamente una delle tre condizioni:
- $a\mathfrak{R}b $[/list:u:qzls29k8]
- $b\mathfrak{R}a$ [/list:u:qzls29k8]
- $a=b$[/list:u:qzls29k8]
"@melia":
Detta in parole povere:
Ogni volta che $a\mathfrak{R}b $ allora anche $b\mathfrak{R}a$, quello che succede se $a$ e $b$ non stanno in relazione non interessa.
Nel caso di $19/2$ e $1/2$ questi non stanno in relazione tra di loro, siccome $19/2$ non sta in relazione con $1/2$, non devo neppure controllare se $1/2$ sta in relazione con $19/2$.
Detto in parole spicciole, la proprietà di simmetria devo verificarla se vale per l'operazione di "prodotto" e non sull'operazione "il prodotto è minore di 1". Ora, poiché il prodotto è commutativo la relazione è simmetrica. E a quanto ho capito questo posso dirlo posso dirlo quando i due membri a e b sono in relazione.
Per la riflessività faccio un discorso simile. Se prendo a<1 allora $a^2$ è ancora minore di 1 e in questo caso la relazione è roflessiva, non lo è altrimenti.
Non capisco cosa sbaglio in questo ragionamento
"raff5184":
Detto in parole spicciole, la proprietà di simmetria devo verificarla se vale per l'operazione di "prodotto" e non sull'operazione "il prodotto è minore di 1". Ora, poiché il prodotto è commutativo la relazione è simmetrica. E a quanto ho capito questo posso dirlo posso dirlo quando i due membri a e b sono in relazione.
No. Se dovessi verificare la simmetria della tua relazione sulla sola commutatività del prodotto, allora $(19)/2$ e $1/2$ sarebbero in relazione. La tua relazione ti dice che $x$ è in relazione con $y$ se e solamente se il prodotto $x\cdot y < 1$: il modo in cui è scritto il prodotto è importante, cioè moltiplichi tenendo come primo fattore $x$ e secondo fattore $y$, se questo prodotto è minore di $1$ allora $x \mathfrak{R} y$. Si ha che $y \mathfrak{R} x$ se e solamente se $y \cdot x < 1$: cioè devi fare un prodotto con $y$ primo fattore e $x$ secondo fattore. Ma in $QQ$ il prodotto è commutativo, sicché $x \cdot y = y \cdot x$, quindi $x \mathfrak{ R} y => y \mathfrak{R} x$.
Se $x$ e $y$ non sono in relazione, allora l'implicazione $x \mathfrak{R} y => y \mathfrak{R} x$ è banalmente vera perché è falso che $x \mathfrak{R} y$.
"WiZaRd":bene questo è chiarissimo, grazie.
No. Se dovessi verificare la simmetria della tua relazione sulla sola commutatività del prodotto, allora $(19)/2$ e $1/2$ sarebbero in relazione. La tua relazione ti dice che $x$ è in relazione con $y$ se e solamente se il prodotto $x\cdot y < 1$: il modo in cui è scritto il prodotto è importante, cioè moltiplichi tenendo come primo fattore $x$ e secondo fattore $y$, se questo prodotto è minore di $1$ allora $x \mathfrak{R} y$. Si ha che $y \mathfrak{R} x$ se e solamente se $y \cdot x < 1$: cioè devi fare un prodotto con $y$ primo fattore e $x$ secondo fattore. Ma in $QQ$ il prodotto è commutativo, sicché $x \cdot y = y \cdot x$, quindi $x \mathfrak{ R} y => y \mathfrak{R} x$.
Se $x$ e $y$ non sono in relazione, allora l'implicazione $x \mathfrak{R} y => y \mathfrak{R} x$ è banalmente vera perché è falso che $x \mathfrak{R} y$.
Ora, perché non posso fare un ragionamento simile per la riflessività?
Una relazione è riflessiva se e solo se ogni elemento dell'insieme che fa da supporto alla relazione è in relazione con se stesso: sono elementi di $QQ$ sia i numeri minori dell'unità, sia quelli maggiori o uguali. Affinché la relazione sia riflessiva occorre e basta allora che siano in relazione con se stessi sia gli elementi minori dell'unità ( e qui siamo OK), sia l'unità (e qui i conti non tornano), sia gli elementi maggiori dell'unità (idem come prima). Allora la nostra relazione non gode della proprietà riflessiva.
Nota la differenza formale tra le formule che codificano la riflessività e la simmetria: la simmetria è enucleata con la formula $\forall a,b \in X, a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{R}a$, quindi hai una struttura implicativa, mentre la riflessività è enucleata con la formula $\forall a \in X, a\mathfrak{R}a$, quindi nessuna implicazione, sicché mentre con l'implicazione i casi in cui gli elementi non sono in relazione non hanno importanza (vedasi la tavola di verità di questo connettivo), con la singola variabile predicativa (i.e. $a \mathfrak{R} a$) i casi in cui l'affermazione è falsa contano, dondo la differenza tra i due casi.
Spero di non essere stato troppo contorto.
Nota la differenza formale tra le formule che codificano la riflessività e la simmetria: la simmetria è enucleata con la formula $\forall a,b \in X, a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{R}a$, quindi hai una struttura implicativa, mentre la riflessività è enucleata con la formula $\forall a \in X, a\mathfrak{R}a$, quindi nessuna implicazione, sicché mentre con l'implicazione i casi in cui gli elementi non sono in relazione non hanno importanza (vedasi la tavola di verità di questo connettivo), con la singola variabile predicativa (i.e. $a \mathfrak{R} a$) i casi in cui l'affermazione è falsa contano, dondo la differenza tra i due casi.
Spero di non essere stato troppo contorto.
"WiZaRd":
Nota la differenza formale tra le formule che codificano la riflessività e la simmetria: la simmetria è enucleata con la formula $\forall a,b \in X, a\mathfrak{R}b \implies b\mathfrak{R}a$, quindi hai una struttura implicativa, mentre la riflessività è enucleata con la formula $\forall a \in X, a\mathfrak{R}a$, quindi nessuna implicazione, sicché mentre con l'implicazione i casi in cui gli elementi non sono in relazione non hanno importanza (vedasi la tavola di verità di questo connettivo), con la singola variabile predicativa (i.e. $a \mathfrak{R} a$) i casi in cui l'affermazione è falsa contano, dondo la differenza tra i due casi.
Spero di non essere stato troppo contorto.
Ecco mi mancava questa sostanziale osservazione.
Grazie Wizard (grazie anche ad @melia) Non sei stato affatto contorto.
Ora è tutto chiaro. Scusate se su questa banalità ho fatto spendere un pò di post
Ciao
Figurati! È stato un piacere. Buona serata.
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