Relazione d'ordine?

[silente1]

Scusate, forse mi sto rincoglionendo.
La relazione descritta da questo grafico è d’ordine?

Il mio libro la dice d’ordine con $(c=b < d=a)$
Tuttavia non è verificata la proprietà antisimmetrica perché $(a Non è verificata nemmeno la proprietà transitiva perché per $a,b,c,d$ non vale la proprietà riflessiva.
Sicché non è d’ordine.
Devo rivedere il significato del segno uguale prendendolo come equivalenza rispetto alla relazione?
(per farmi un’idea intuitiva devo dunque pensare che mettendo in fila indiana più persone, se si affiancano quelle della stessa altezza, si è ordinato l’insieme?)

Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

La proprietà antisimmetrica non è soddisfatta per (ad esempio) A e D, quindi quella relazione non è un ordine. Lo diventa non appena correggi le mancate antisimmetrie.

Forse l'equivoco nasce dalla definizione di ordine che dà il tuo libro.

[silente1]

Sempre gentile.
Forse è come dite voi: qui qualcosa non va:
Definizioni
Si chiama relzione d'ordine ogni relazione in un insieme che gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Si chimano di ordine stretto le relazioni, come <, che sono solo transitive. (quindi anche quelle di equivalenza )
Comunque anche secondo queste due definizioni l'ordine non c'è.

Grazie ancora Martino . Temevo di scoprire di non mai aver capito nulla sulle relazioni.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Prego. Comunque dal fatto che il tuo libro ha scritto così deduco che forse la richiesta è soggetta ad eventuale manipolazione dei simboli. In altre parole, poiché nella sua soluzione a=d e b=c, deduco che solga :) riservare al solutore l'eventuale identificazione di due o più dei simboli in gioco. Questo non è carino da parte sua ma dato che è così, è meglio saperlo per gli esercizi futuri.

[Sk_Anonymous]

"silente":
Si chiamano di ordine stretto le relazioni, come <, che sono solo transitive. (quindi anche quelle di equivalenza )

Problemino: le relazioni di equivalenza devono essere riflessive, simmetriche e transitive, la transitività da sola non basta.
Questa definizione di ordine stretto mi lascia molto perplessa, sei sicuro di quello che hai scritto o hai fatto una sintesi?
Nelle rette del piano la relazione di parallelismo è di equivalenza, ma non è in alcun caso di ordine.

[silente1]

"amelia":[quote="silente"]
Si chiamano di ordine stretto le relazioni, come <, che sono solo transitive. (quindi anche quelle di equivalenza )

Problemino: le relazioni di equivalenza devono essere riflessive, simmetriche e transitive, la transitività da sola non basta.
Questa definizione di ordine stretto mi lascia molto perplessa, sei sicuro di quello che hai scritto o hai fatto una sintesi?
Nelle rette del piano la relazione di parallelismo è di equivalenza, ma non è in alcun caso di ordine.[/quote]

Ho interpretato quel "che sono solo" come che "che sono anche solo" cioè, come mi fai notare, avevo preso la transitivià come condizione sufficiente. Questo esercizio mi deve aver mandato in distorsione.

Ti ringrazio del rilievo fattomi perché mi stavo immedesimando un pò troppo in questa interpretazione dell'ordine.
Per quanto riguarda la mia sintesi, onde evitare fraintendimenti, riporto il testo


Che è tratto da: Algebra 1; Oriolo Coda
E' un libro vecchio ma mi è parso molto buono e me lo sono fatto prestare ma qui è un pò strano.
P.s. comunque sulle relazioni succedono spesso cose strane sui libri: ci sono spesso esempi di relazioni simmetriche è transitive che non sono riflessive cioà relazioni che non esistono. Ma come mai? E' un'errore didatticamente utile?

Ciao; e grazie

Ops: mi ero scordato di Martino:

Prego. Comunque dal fatto che il tuo libro ha scritto così deduco che forse la richiesta è soggetta ad eventuale manipolazione dei simboli. In altre parole, poiché nella sua soluzione a=d e b=c, deduco che solga riservare al solutore l'eventuale identificazione di due o più dei simboli in gioco. Questo non è carino da parte sua ma dato che è così, è meglio saperlo per gli esercizi futuri.

lo avevo pensato anch'io. E' quello che intendevo dire per revisione del significato del segno $=$ intendendolo come equivalenza rispetto alla relazione
(e ciò si accorderebbe con l'abitudine di altri testi di non considerare che una relazione simmetrica e transitiva è sempre riflessiva come ho fatto notare che succede spesso sopra)
Ma se fosse così (speriamo di no) certe relazioni (come quella del grafico in cui $a$ e $d$ sono distinti) o per esempio quelle simmetriche ma non riflessive non si porebbero rappresentare. O sbaglio?
Ciao

[Sk_Anonymous]

"silente":... è tratto da: Algebra 1; Oriolo Coda. E' un libro vecchio ma mi è parso molto buono e me lo sono fatto prestare ma qui è un pò strano.

L'Oriolo Coda è un buon libro, ma quando lo hanno scritto, all'inizio degli anni '80, c'era ancora un po' di confusione concettuale nei libri di testo della scuola superiore riguardo alle relazioni.
Una relazione d'ordine stretto deve essere antisimmetrica e transitiva, e non basta che sia solo transitiva.

"silente":P.s. comunque sulle relazioni succedono spesso cose strane sui libri: ci sono spesso esempi di relazioni simmetriche è transitive che non sono riflessive cioà relazioni che non esistono. Ma come mai? E' un'errore didatticamente utile?

Una relazione esiste benissimo anche se non gode di alcuna proprietà, perché non è altro che un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Nel testo, come in quasi tutti i testi delle superiori, le relazioni servono soprattutto per introdurre le funzioni.
Vuoi un consiglio? Anche se ci sono cose che non capisci sulle relazioni, vai avanti lo stesso e finisci il capitolo, poi magari torna indietro. Vedrai che la maggior parte dei dubbi si è chiarita da sola.
Buon lavoro
Amelia

[silente1]

"silente":P.s. comunque sulle relazioni succedono spesso cose strane sui libri: ci sono spesso esempi di relazioni simmetriche è transitive che non sono riflessive cioà relazioni che non esistono. Ma come mai? E' un'errore didatticamente utile?

Amalia ha scritto

Una relazione esiste benissimo anche se non gode di alcuna proprietà, perché non è altro che un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Nel testo, come in quasi tutti i testi delle superiori, le relazioni servono soprattutto per introdurre le funzioni.
Vuoi un consiglio? Anche se ci sono cose che non capisci sulle relazioni, vai avanti lo stesso e finisci il capitolo, poi magari torna indietro. Vedrai che la maggior parte dei dubbi si è chiarita da sola.
Buon lavoro
Amelia

Non mi sono spiegato.
Faccio esempio

Prendiamo il grafico centrale. Quali proprietà possiede la relazione? Simmetrica e transitiva dicono i miei libri. (parlando di grafici si dice: la relazione è transitiva se i triangoli si chiudono)*.
Questo mi pare evidentemente falso e la relazione del grafico centrale sopra citato non è transitiva.
Ammettiamo che sia transitiva: allora poiché $aRb^^bRarArraRa$ quindi la relazione è riflessiva. (assurdo poiché contro il grafico)

In generale una relazione è riflessiva non appena è simmetrica e transitiva. In questo senso una relazione simmetrica e transitiva chhe non sia riflessiva mi pare di poter affermare che non esiste proprio. Quindi se è certamente vero che esistono relazioni che non godono della prop. riflessiva non ne esiste nessuna tra quelle simmetriche e transitive. Intendevo questo.

Riguardo alla risposta che ho dato a Martino mi cito:

Ma se fosse così (speriamo di no) certe relazioni (come quella del grafico in cui e sono distinti) o per esempio quelle simmetriche ma non riflessive non si porebbero rappresentare. O sbaglio?

Mi sembra che questa affermazione (che mi pare tu abbia confutato) sia corretta.
Se si assume l'interpretazione che Martino suggerisce nella relazione del grafico centrale i tre nodi verrebbero a coincidere ed in questo caso non sarebbe possibile rappresentare una relazione in cui $a,b,c$ sono distinti.
Spero di essere riuscito a spiegarmi.

P.s. Grazie del consiglio. E' un mio difetto quello di non andare avanti (con quello peggiore di non fare esercizi .)
Se la prof. se n'è già accorta complimenti.

*in un certo senso è vero: bisogna però considerare il triangolo degenerato in un segmento che si ottiene "spostando" un elemento sull'altro.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"silente":In generale una relazione è riflessiva non appena è simmetrica e transitiva.

Attenzione, questo è falso

Per esempio la relazione su $A={1,2,3}$ definita da $R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}$ è simmetrica e transitiva ma non riflessiva (infatti 3 non è in relazione con se stesso).

Questo non toglie che la relazione riprodotta nell'immagine centrale della figura 40 mi sembri non transitiva (per il motivo che hai detto).

[silente1]

"Martino":[quote="silente"]In generale una relazione è riflessiva non appena è simmetrica e transitiva.

Attenzione, questo è falso

Per esempio la relazione su $A={1,2,3}$ definita da $R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}$ è simmetrica e transitiva ma non riflessiva (infatti 3 non è in relazione con se stesso).

Questo non toglie che la relazione riprodotta nell'immagine centrale della figura 40 mi sembri non transitiva (per il motivo che hai detto).[/quote]

Avevo supposto che la relazione fosse totale (credo si dica così).
Non mi ero accorto di aver introdotto questa ipotesi (sotto la quale mi pare che il ragionamento sia corretto)
Grazie per avermelo fatto notare.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"silente":Avevo supposto che la relazione fosse totale (credo si dica così).

Chiedere la totalità è chiedere troppo basta che ogni elemento sia in relazione con qualcosa.

A scanso di equivoci, per me una relazione $sim$ su un insieme A si dice totale quando scelti comunque $x,y in A$, una almeno tra "$x sim y$" e "$y sim x$" è verificata. In particolare una relazione totale è automaticamente riflessiva (!).

[silente1]

Allora i miei libri vogliono scagliarsi contro di me.

Secondo la tua definizione di relazione totale mi pare di poter affermare che non esistono relazioni d’ordine stretto totali. Sui mie testi $<$ è detta relazione d’ordine stretto totale come avrai immaginato.
Evidentemente è solo una questione di accordi preliminari sulle definizioni. A volte i disaccordi sulle definizioni sono incomprensibili.

Mi adeguo subito alla definizione.

[ViciousGoblin]

Un'opinione dettata da una lettura affrettata (e quindi superficiale) dei vari messaggi.

Mi sembra che nel testo del libro vada capito cosa si intende con quel "solo".
Vuole dire che una relazione d'ordine stretta è una qualunque relazione verificante la
proprietà transitiva e basta? Mi sembra improbabile perchè allora una qualunque
relazione d'ordine sarebbe anche una relazione stretta.
Mi pare più probabile che il testo voglia dire che vale la transitiva e che le altre
due sono sempre false, in particolare $x>x$ è sempre falsa.
In questo caso è chiaro che $>$ non può essere una relazione totale.

[silente1]

"ViciousGoblinEnters":Un'opinione dettata da una lettura affrettata (e quindi superficiale) dei vari messaggi.


Mi pare più probabile che il testo voglia dire che vale la transitiva e che le altre
due sono sempre false, in particolare $x>x$ è sempre falsa.
In questo caso è chiaro che $>$ non può essere una relazione totale.

Mi arrischio a dire un'altra fesseria?
"$x>x$ è sempre falsa" non implica che non sia verificata la proprietà antisimmetrica.

Riguardo alle differenti definizioni di relazione totale ovviamente si tratta di scegliere fra:
$AAa,binX: aRbvvbRa$
$AAa!=binX: aRbvvbRa$

Ciao

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"ViciousGoblinEnters":Mi pare più probabile che il testo voglia dire che vale la transitiva e che le altre
due sono sempre false, in particolare $x>x$ è sempre falsa.

Il problema (se ho capito bene quello che sostieni) è che la $<$ è antisimmetrica (oltre ad essere transitiva).

[silente1]

"Martino":[quote="ViciousGoblinEnters"]Mi pare più probabile che il testo voglia dire che vale la transitiva e che le altre
due sono sempre false, in particolare $x>x$ è sempre falsa.

Il problema (se ho capito bene quello che sostieni) è che la $<$ è antisimmetrica (oltre ad essere transitiva).[/quote]

Ma non ha detto il contrario?
ViciousGoblinEnters dice "le altre due (antisimmetrica e riflesiva) sono sempre false"

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Premetto che dato un insieme parzialmente ordinato $(X, le)$, io chiamo $<$ la relazione su $X$ definita da

$x
Detto questo...

"silente":[quote="Martino"][quote="ViciousGoblinEnters"]Mi pare più probabile che il testo voglia dire che vale la transitiva e che le altre
due sono sempre false, in particolare $x>x$ è sempre falsa.

Il problema (se ho capito bene quello che sostieni) è che la $<$ è antisimmetrica (oltre ad essere transitiva).[/quote]

Ma non ha detto il contrario?
ViciousGoblinEnters dice "le altre due (antisimmetrica e riflesiva) sono sempre false"[/quote]

Appunto

Quello contestavo: se si vuole chiamare $<$ un ordine stretto allora bisogna ammettere che un ordine stretto, oltre ad avere la proprietà transitiva, ha anche quella antisimmetrica. Infatti $<$ è antisimmetrica.
Poi bisognerà aggiungere probabilmente (nella definizione di ordine stretto) non solo che non c'è la proprietà riflessiva, ma che addirittura nessun elemento è in relazione con se stesso.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Allora io direi così che è più bello.

"Definizione 1 di Martino". Dato un insieme $X$ e una relazione $sim$ su $X$, diciamo che $sim$ è un "ordine stretto" se verifica le seguenti proprietà:
1) irriflessiva (ovvero "nessun elemento di $X$ verifica $x sim x$");
2) antisimmetrica (ovvero "se $x ne y$ e $x sim y$ allora non è vero che $y sim x$");
3) transitiva (ovvero "da $x sim y$ e $y sim z$ segue $x sim z$, sempre").

"Definizione 2 di Martino". Dato un insieme $X$, una relazione data $sim$ su $X$ si dice "proveniente da un ordine largo", o che "proviene da un ordine largo", se esiste un ordine parziale $le$ su $X$ tale che $x sim y$ se e solo se $x ne y$ e $x le y$, per ogni $x,y in X$.

Rimarco: una relazione proveniente da un ordine largo è un ordine stretto.

Ed ora il motivo per cui ho fatto tutto ciò, il "viceversa":

Proposizione: un ordine stretto proviene sempre da un ordine largo.

Dim: sia allora $sim$ un ordine stretto sull'insieme $X$. Definiamo la relazione $le$ su $X$ dicendo che $x le y$ se e solo se $x
Posso quindi concludere che secondo le definizioni che ho dato, un ordine stretto è esattamente una relazione proveniente da un ordine largo.

[ViciousGoblin]

Chiedo scusa a tutti ma prima ritenevo che $<$ non fosse antisimmetrica, pensando che
la proprietà antisimmetrica fosse
$R$ antisimmetrica se $(R(x,y)" e "R(y,x)))\Leftrightarrow (x=y)$.
Nel caso di $<$ questa è falsa,
dato che non è vero $(x=y)\Rightarrow ((x (mentre $((x
Bisogna vedere qual è la formulazione del testo citato sopra.
Viceversa (@martino) dire che la riflessiva è sempre falsa vuol proprio dire che ogni elemento non è in relazione con se stesso.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"ViciousGoblinEnters":Viceversa (@martino) dire che la riflessiva è sempre falsa vuol proprio dire che ogni elemento non è in relazione con se stesso.

Certo, basta mettersi d'accordo

[silente1]

"Martino":
Proposizione: un ordine stretto proviene sempre da un ordine largo.

Dim: sia allora $sim$ un ordine stretto sull'insieme $X$. Definiamo la relazione $le$ su $X$ dicendo che $x le y$ se e solo se $xparziale, e induce l'ordine stretto $sim$ su $X$ attraverso il procedimento esposto nella definizione 2.

Posso quindi concludere che secondo le definizioni che ho dato, un ordine stretto è esattamente una relazione proveniente da un ordine largo.

Scusa Martino; posso sperare di aver inteso e che quel "parziale" che ti ho evidenziato nella citazione volesse essere "largo".

Domadone: la dizione "che proviene da un ordine largo" è tua o di pubblico dominio?
Ciao