Relazione di equivalenza... help

[au94]

ciaooo a tutti!!! mi serve un grandissimo aiuto!!!
l'altro giorno sono stata assente e la prof di matematica ha spiegato le relazioni e ha lasciato esercizi su queste. io ho letto la lezione sul libro e ho fatto gli esercizi pero' non so se un esercizio e' giusto e poi non ne so fare un altro... x favore aiutatemi!!!
ecco la consegna del primo esercizio
dimostrare che la relazione di congruenza modulo 3, cosi' definita in Z
x[qui c'e' il segno di coincidenza ma non lo so fare]y(mod 3)x-y=3k (k appartiene a Z), e' una relazione d'equivalenza e descrivere le classi di equivalenza.
io l'ho risolto in questo modo:
la relazione di congruenza x[qui c'e' il segno di coincidenza ma non lo so fare]y(mod3) x-y=3k e' una relazione d'equivalenza. infatti essa e':
-riflessiva: ciascun numero e' uguale a se stesso;
-simmetria: se x=y allora y=x;
transitiva: se x=y e y=z, allora x=z.
le classi di equivalenza saranno in questo caso i diversi numeri relativi interi.

Per favore potete correggerlo???
ecco l'altro esercizio che stavolta non ho saputo fare:
dopo aver dimostrato che la relazione R definita in N (esclusi 0 e 2) da (a;b)R(c;d) ad=bc e' una relazione di equivalenza, determinare le classi di equivalenza.
Per favore vi pregooo!!! Aiutatemi
grazie di cuore in anticipo!!!

[aleio1]

au non ha senso quello che hai scritto. La relazione di equivalenza

[math]mod \ 3[/math]

su

[math]\mathbb{Z}[/math]

definita da

[math]x=y\Leftrightarrow x-y=3k, \ \ k\in \mathbb{Z}[/math]

"rende uguali" (fammi passare il termine e anche la notazione di uguaglianza) i numeri che divisi per 3 hanno lo stesso resto o equivalentemente i numeri la cui differenza è un multiplo di 3.

Dunque hai

[math]4=1 \ mod \ 3[/math]

,

[math]6=0 \ mod \ 3[/math]

perchè appunto sussiste la relazione di cui sopra.

Per verificare che è di equivalenza tale relazione devi sì mostrare che rispetta riflessività, simmetria e transitività ma non ha senso il tuo ragionamento a riguardo.

Riflessività:

[math]a=a \ mod \ 3\Leftrightarrow a-a=3k, \ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 0=3k, \ k\in\mathbb{Z}[/math]

vero per

[math]k=0[/math]

.

Simmetria:

[math]a=b \ mod \ 3\Rightarrow b=a \ mod \ 3[/math]

Ciò è vero perchè

[math]a=b \ mod \ 3\Leftrightarrow a-b=3k, \ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b-a=3\cdot(-k), \ -k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b=a \ mod \ 3[/math]

Transitività:

[math]a=b \ mod \ 3, \ b=c \ mod \ 3 \Rightarrow a=c \ mod \ 3[/math]

. Anche questo è vero perchè da

[math]a-b=3k \ k\in\mathbb{Z}, \ b-c=3j, \ j\in\mathbb{Z}[/math]

ricavi che

[math]b=3j+c, \ j\in\mathbb{Z}[/math]

che sostituito nella prima relazione la fa diventare:

[math]a-c-3j=3k\rightarrow a-c=3(k+j)[/math]

e poichè

[math]k+j\in\mathbb{Z}[/math]

allora hai la tesi

[math]a=c \ mod \ 3[/math]

.

Le classi di equivalenza di questa relazione saranno costituite dai numeri che hanno lo stesso resto se divisi per 3. E dato che il resto deve essere un numero compreso tra 0 e 3 (3 escluso) avrai tre diverse classi di equivalenza.

Il secondo puoi farlo da sola.

[au94]

grazieeee!!! :satisfied