Regole dei segni

[ferdondino]

Perchè 1+(-1)= 1-1 e 1+(+1)= 1+1?

[Zero87]

Come dice una famosa filastrocca: più per più = più, più per meno = meno, meno per più = meno, meno per meno = più.

Ad essere più rigorosi: se i segni ravvicinati sono concordi il risultato è un + altrimenti è un meno.

[ferdondino]

Esiste una dimostrazione più rigorosa?

[Zero87]

La formalizzazione, in teoria, dovrebbe fare capo all'algebra (estendere la moltiplicazione dai naturali agli interi) e a dire il vero non saprei come spiegartela - si tratta di concetti universitari e di algebra ho fatto solo qualcosa al primo anno quindi l'ho dimenticata pressoché subito una volta laureato.

Però te ne do una giustificazione con degli esempi.

Sappiamo che per i numeri naturali vale la proprietà distributiva:
(5+3)*3 = 3*5+3*3 = 24 = 8*3

Se la stessa proprietà si vuole che valga anche per i numeri interi (con segno) allora si vede che deve essere

(7 - 3)*3 = 7*3 + (-3)*3 = 21 + (-3)*3 = 4*3 = 12, quindi per far valere l'uguaglianza (-3)*3 = -9 da cui vale la regola del "meno per piú fa meno"

3*(7 - 3) = 3*7 + 3*(-3) = 21 + 3*(-3) =3*4 = 12, quindi 3*(-3) = -9 per far mantenere l'uguaglianza da cui la regola "piú per meno fa meno"

A questo punto manca solo l'ultima
(7 - 3)*(-3) = 7*(-3) + (-3)*(-3) = (per le regole precedenti) = -21 + (-3)*(-3) = 4*(-3) = (per le regole precedenti) = -12
anche qui, per far valere l'uguaglianza, deve essere (-3)*(-3) = 9 da cui la regola "meno per meno fa piú".

Queste, come detto, sono "giustificazioni", non sono dimostrazioni generali ma giustificazioni basate su un caso specifico.