Regola di Cartesio
Salve a tutti.
Devo applicare la regola dei segni di Cartesio a quest'equazione:
(a+2) x^2 + (1-a^2) x + a = 0
Ma riscontro problemi nel trovare gli intervalli in cui il
Δ = a^4 - 6a^2 - 8a + 1
sia positivo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie!
Devo applicare la regola dei segni di Cartesio a quest'equazione:
(a+2) x^2 + (1-a^2) x + a = 0
Ma riscontro problemi nel trovare gli intervalli in cui il
Δ = a^4 - 6a^2 - 8a + 1
sia positivo.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie!
Risposte
A cosa serve calcolare il delta per la regola di Cartesio?
Sul mio manuale c'è scritto che è necessario che il delta sia maggiore di zero per applicare il teorema di Cartesio, ma in effetti ho dei dubbi a riguardo in quanto questo dettaglio non l'ho trovato su altre fonti.
Rettifico: c'è scritto anche altrove che è necessario avere discriminante non negativo affinché il polinomio ammetta tante soluzioni positive per quante sono le variazioni e tante soluzioni negative per quante sono le permanenze.
Non riesco quindi a stabilire il segno del delta in questione poiché il polinomio non mi sembra sia scomponibile.
Non riesco quindi a stabilire il segno del delta in questione poiché il polinomio non mi sembra sia scomponibile.
Ho esaminato un po' la variazione dei segni al variare di $a$, però non credo che il tuo problema sia quello, ed inoltre è abbastanza lungo da riportare. Fammi sapere se hai bisogno di qualcosa in particolare, mettendo anche un tuo tentativo di soluzione.
Da quello che ho capito, tu hai bisogno di studiare il segno del polinomio $Delta(a)$, e tale polinomio non si scompone in maniera elementare con Ruffini.
C'è un metodo che coinvolge l'analisi, ed è tipico per trovare soluzioni approssimate, e cioè dovresti partire dallo studio del segno della derivata prima.
Se sei in grado di farlo, ti scrivo la fattorizzazione della derivata prima del discriminante, e poi puoi continuare, altrimenti non saprei come aiutarti:
$Delta'(a)=4(a+1)^2(a-2)$, e ci dice che $Delta$ è decrescente in $(-oo, 2)$ e crescente in $(2, +oo)$ e si annulla in due punti, $x_1 in (0,1)$ e $x_2 in (2,3)$, se non ricordo male...
Da quello che ho capito, tu hai bisogno di studiare il segno del polinomio $Delta(a)$, e tale polinomio non si scompone in maniera elementare con Ruffini.
C'è un metodo che coinvolge l'analisi, ed è tipico per trovare soluzioni approssimate, e cioè dovresti partire dallo studio del segno della derivata prima.
Se sei in grado di farlo, ti scrivo la fattorizzazione della derivata prima del discriminante, e poi puoi continuare, altrimenti non saprei come aiutarti:
$Delta'(a)=4(a+1)^2(a-2)$, e ci dice che $Delta$ è decrescente in $(-oo, 2)$ e crescente in $(2, +oo)$ e si annulla in due punti, $x_1 in (0,1)$ e $x_2 in (2,3)$, se non ricordo male...
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