Razionalizzazione del denominatore
Salve.
Questo è l'ultimo esercizio sulla razionalizzazione:
$2/(sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2-x+3))$
La soluzione è $sqrt(x^2-x+3)-sqrt(x^2-x+1)$.
Ora, il denominatore non può essere nullo:
$sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2-x+3)!=0$
$sqrt(x^2-x+1)!=-sqrt(x^2-x+3)$
$(sqrt(x^2-x+1))^2!=(-sqrt(x^2-x+3))^2$
$x^2-x+1!=x^2-x+3$
$1!=3$
Quindi non c'è un valore di $x$ per il quale il denominatore può annullarsi. Ma è questo il modo corretto di arrivarci?
Adesso, le condizioni di esistenza dei radicali...
$x^2-x+1>=0$
$x^2-x+3>=0$
Ora, questi affari sono trinomi di secondo grado. Non sono in grado di fattorizzarli, almeno non con i metodi che conosco. La domanda quindi sorge spontanea: come posso risolvere queste disequazioni di secondo grado?
Evidentemente il libro si aspetta che io sia in grado di farlo con gli strumenti che ho a disposizione, ma non mi viene in mente niente. Chiaramo, non voglio la soluzione. Vorrei un suggerimento.
C'è un motivo per cui dovrei sapere che i radicandi sono sempre positivi?
Questo è l'ultimo esercizio sulla razionalizzazione:
$2/(sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2-x+3))$
La soluzione è $sqrt(x^2-x+3)-sqrt(x^2-x+1)$.
Ora, il denominatore non può essere nullo:
$sqrt(x^2-x+1)+sqrt(x^2-x+3)!=0$
$sqrt(x^2-x+1)!=-sqrt(x^2-x+3)$
$(sqrt(x^2-x+1))^2!=(-sqrt(x^2-x+3))^2$
$x^2-x+1!=x^2-x+3$
$1!=3$
Quindi non c'è un valore di $x$ per il quale il denominatore può annullarsi. Ma è questo il modo corretto di arrivarci?
Adesso, le condizioni di esistenza dei radicali...
$x^2-x+1>=0$
$x^2-x+3>=0$
Ora, questi affari sono trinomi di secondo grado. Non sono in grado di fattorizzarli, almeno non con i metodi che conosco. La domanda quindi sorge spontanea: come posso risolvere queste disequazioni di secondo grado?
Evidentemente il libro si aspetta che io sia in grado di farlo con gli strumenti che ho a disposizione, ma non mi viene in mente niente. Chiaramo, non voglio la soluzione. Vorrei un suggerimento.
C'è un motivo per cui dovrei sapere che i radicandi sono sempre positivi?
Risposte
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Beh, non ci sarei arrivato neanche in un milione di anni.
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Ma scusate $(a+b)(a-b)$ no?
"ragoo":
Evidentemente il libro si aspetta che io sia in grado di farlo con gli strumenti che ho a disposizione, ...
Ma no, devi SOLO razionalizzare e basta, questi esercizi servono per fare pratica con questo metodo ...
@sellacollesella: okay, ho dato un'occhiata veloce e tutte queste cose mi pare siano spiegate, ma sono spiegate quando parla di equazioni e disequazioni di secondo grado, vale a dire tra una cinquantina di pagine.
Qui, questo esercizio è fuori posto. A meno che non chieda esclusivamente di razionalizzare.
Ma no, devi SOLO razionalizzare e basta, questi esercizi servono per fare pratica con questo metodo ...[/quote]
Il motivo per cui non penso che chieda solo di razionalizzare è che in tutte le soluzioni di questa serie di esercizi ci piazzano anche le condizioni di esistenza.
Solo che in tutti gli altri esercizi mi fanno lavorare con disequazioni di primo grado oppure con disequazioni di grado superiore al primo, ma risolvibili con la scomposizione.
Per esempio, l'esercizio prima di questo è:
$(5x-39)/(3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))$
La soluzione che riporta:
$3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3) text{ con } x>=3 text{ ma } !=39/5$
Solo che qui penso di sapere cosa fare.
Il primo radicale esiste per $x>=3$. Il secondo radicale esiste per $x>=-3$. Il denominatore non può essere nullo, quindi:
$3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3)!=0$
$3sqrt(x-3)!=2sqrt(x+3)$
$(3sqrt(x-3))^2!=(2sqrt(x+3))^2$
$9(x-3)!=4(x+3)$
$9x-27!=4x+12$
$5x!=39$
$x!=39/5$
E quindi la condizione di esistenza dell'espressione sarebbe $3<=x<39/5vvx>39/5$.
A questo punto razionalizzo:
$(5x-39)/(3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/((3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))=$
Ora qui, suppongo che, tecnicamente, dovrei controllare che questa espressione non mi annulli il denominatore. Le condizioni di esistenza rimangono comunque le stesse. Quindi...
$=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/(9x-27-(4x+12))=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/(5x-39)=3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)$
Boh. Così è come ho risolto tutta questa serie di esercizi. Non so se ho fatto bene.
Qui, questo esercizio è fuori posto. A meno che non chieda esclusivamente di razionalizzare.
"axpgn":
[quote="ragoo"]Evidentemente il libro si aspetta che io sia in grado di farlo con gli strumenti che ho a disposizione, ...
Ma no, devi SOLO razionalizzare e basta, questi esercizi servono per fare pratica con questo metodo ...[/quote]
Il motivo per cui non penso che chieda solo di razionalizzare è che in tutte le soluzioni di questa serie di esercizi ci piazzano anche le condizioni di esistenza.
Solo che in tutti gli altri esercizi mi fanno lavorare con disequazioni di primo grado oppure con disequazioni di grado superiore al primo, ma risolvibili con la scomposizione.
Per esempio, l'esercizio prima di questo è:
$(5x-39)/(3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))$
La soluzione che riporta:
$3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3) text{ con } x>=3 text{ ma } !=39/5$
Solo che qui penso di sapere cosa fare.
Il primo radicale esiste per $x>=3$. Il secondo radicale esiste per $x>=-3$. Il denominatore non può essere nullo, quindi:
$3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3)!=0$
$3sqrt(x-3)!=2sqrt(x+3)$
$(3sqrt(x-3))^2!=(2sqrt(x+3))^2$
$9(x-3)!=4(x+3)$
$9x-27!=4x+12$
$5x!=39$
$x!=39/5$
E quindi la condizione di esistenza dell'espressione sarebbe $3<=x<39/5vvx>39/5$.
A questo punto razionalizzo:
$(5x-39)/(3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/((3sqrt(x-3)-2sqrt(x+3))(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))=$
Ora qui, suppongo che, tecnicamente, dovrei controllare che questa espressione non mi annulli il denominatore. Le condizioni di esistenza rimangono comunque le stesse. Quindi...
$=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/(9x-27-(4x+12))=((5x-39)(3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)))/(5x-39)=3sqrt(x-3)+2sqrt(x+3)$
Boh. Così è come ho risolto tutta questa serie di esercizi. Non so se ho fatto bene.
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"ragoo":
Evidentemente il libro si aspetta che io sia in grado di farlo con gli strumenti che ho a disposizione ...
Considera che, quando si scompone una somma di cubi:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
è consuetudine aggiungere che un falso quadrato:
$x^2-x+1$
è sempre positivo, prima ancora di affrontare le disequazioni di 2° grado. A questo punto, per concludere basta osservare che:
$x^2-x+3=x^2-x+1+2$
Sì. Il primo volume accennava a questo fatto. Mi pare che dicesse che "per motivi che saranno chiari nel secondo volume, questi particolari trinomi di secondo grado sono sempre positivi" o qualcosa del genere.
E, in effetti, la prima cosa che ho fatto quando ho realizzato che non erano fattorizzabili è stata proprio quella di verificare che non fossero questi trinomi particolari. Mi sono limitato a osservare che non lo erano. L'idea di applicare la proprietà dissociativa dell'addizione non mi è manco passata per il cranio.
Beh, la cosa mi butta giù parecchio, perché penso che questo fosse il ragionamento che intendevano io facessi. Ho fallito. Amen.
Comunque il libro non spiega affatto bene come gestire le condizioni di esistenza con la razionalizzazione. Non dicono assolutamente nulla riguardo alla differenza tra l'avere una somma o una differenza a denominatore. E la difficoltà qui è proprio capire quando il denominatore si annulla.
Ho comunque un'altra perplessità a proposito della razionalizzazione.
Prendete questa espressione non razionalizzata:
$x/(x+sqrt(2)$
E la stessa espressione razionalizzata:
$(x(x-sqrt(2)))/(x^2-2)$
La prima accetta, come valore di $x$, $sqrt(2)$. La seconda no.
Non sono esattamente la stessa cosa. Qui la razionalizzazione mi cambia le condizioni di esistenza. Solo io la trovo strana questa cosa? Che io sappia, nessun'altra operazione coi radicali fa questo lavoro.
E, in effetti, la prima cosa che ho fatto quando ho realizzato che non erano fattorizzabili è stata proprio quella di verificare che non fossero questi trinomi particolari. Mi sono limitato a osservare che non lo erano. L'idea di applicare la proprietà dissociativa dell'addizione non mi è manco passata per il cranio.
Beh, la cosa mi butta giù parecchio, perché penso che questo fosse il ragionamento che intendevano io facessi. Ho fallito. Amen.
Comunque il libro non spiega affatto bene come gestire le condizioni di esistenza con la razionalizzazione. Non dicono assolutamente nulla riguardo alla differenza tra l'avere una somma o una differenza a denominatore. E la difficoltà qui è proprio capire quando il denominatore si annulla.
Ho comunque un'altra perplessità a proposito della razionalizzazione.
Prendete questa espressione non razionalizzata:
$x/(x+sqrt(2)$
E la stessa espressione razionalizzata:
$(x(x-sqrt(2)))/(x^2-2)$
La prima accetta, come valore di $x$, $sqrt(2)$. La seconda no.
Non sono esattamente la stessa cosa. Qui la razionalizzazione mi cambia le condizioni di esistenza. Solo io la trovo strana questa cosa? Che io sappia, nessun'altra operazione coi radicali fa questo lavoro.
Scusami se insisto ma ti stai semplicemente complicando la vita, quell'esercizio ti chiede solo di razionalizzare usando $(a+b)(a-b)$; serve per fare pratica, allenare l'occhio a riconoscere "schemi" e nient'altro; poi si passerà al resto...
E cosa dovrebbero spiegare? Che devi risolvere un'equazione? Ovvero $DEN != 0$?
Nulla di strano: hai moltiplicato per zero, cosa che non si può fare se vuoi mantenere l'equivalenza tra due equazioni
"ragoo":
Comunque il libro non spiega affatto bene come gestire le condizioni di esistenza con la razionalizzazione. Non dicono assolutamente nulla riguardo alla differenza tra l'avere una somma o una differenza a denominatore .
E cosa dovrebbero spiegare? Che devi risolvere un'equazione? Ovvero $DEN != 0$?
"ragoo":
Qui la razionalizzazione mi cambia le condizioni di esistenza. Solo io la trovo strana questa cosa? Che io sappia, nessun'altra operazione coi radicali fa questo lavoro.
Nulla di strano: hai moltiplicato per zero, cosa che non si può fare se vuoi mantenere l'equivalenza tra due equazioni
La mia paura è che mi possa sfuggire qualche concetto che dovrei capire.
Va bene, grazie a tutti per la pazienza e buona serata.
Va bene, grazie a tutti per la pazienza e buona serata.
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