Razionalizzare
Come razionalizzo 1/(b^(1/2)+a^(1/29))?
Risposte
"serafila":
Come razionalizzo 1/(b^(1/2)+a^(1/29))?
Intendi
$1/(b^(1/2)+a^(1/29))$
oppure
$1/(b^(1/2)+a^(1/2))$?
In entrambi i casi è bastato mettere quello che hai scritto (nella seconda ho tolto il 9) tra simboli di dollaro.
Comunque la mia scelta di togliere il 9 è pensata tenendo conto del fatto che il "9" nella tastiera del pc è sotto alla parentesi ")" quindi posso anche pensare che ci sia un errore di battitura.
"Zero87":
Comunque la mia scelta di togliere il 9 è pensata tenendo conto del fatto che il "9" nella tastiera del pc è sotto alla parentesi ")" quindi posso anche pensare che ci sia un errore di battitura.
Ormai ci vuole la sfera di cristallo!
E' giusto come ho scritto: 29, non 2
Se non sbaglio dovrebbe fare $1/(b^(1/2)+a^(1/29))$ = $1/(root(2)(b)+root(29)(a))$
perchè un numero elevato ad un esponente frazionario equivale ad un radicale che ha come radicando
(il termine sotto il segno di radice) la base elevata al numeratore della frazione,
e come indice della radice il denominatore della frazione .
Solitamente quando si pensa ad una potenza ,
la prima cosa a cui pensiamo è quello di moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto vale l'esponente.
Questa è la prima definizione di potenza e vale quando l'esponente è un numero naturale.
La potenza però può avere per esponente un numero qualsiasi (non per forza un naturale).
In questo caso sfruttiamo la seguente proprietà delle potenze: $a^(m/n) = root(n)(a^m)$ ,
in parole $a$ elevato alla $m/n$ è uguale alla radice n-esima di $a$ elevato alla $m$.
perchè un numero elevato ad un esponente frazionario equivale ad un radicale che ha come radicando
(il termine sotto il segno di radice) la base elevata al numeratore della frazione,
e come indice della radice il denominatore della frazione .
Solitamente quando si pensa ad una potenza ,
la prima cosa a cui pensiamo è quello di moltiplicare la base per se stessa tante volte quanto vale l'esponente.
Questa è la prima definizione di potenza e vale quando l'esponente è un numero naturale.
La potenza però può avere per esponente un numero qualsiasi (non per forza un naturale).
In questo caso sfruttiamo la seguente proprietà delle potenze: $a^(m/n) = root(n)(a^m)$ ,
in parole $a$ elevato alla $m/n$ è uguale alla radice n-esima di $a$ elevato alla $m$.
@Stellinelm: tutto giusto però serafila vuole razionalizzare, cioè togliere le radici al denominatore...
@serafila
Un'idea può essere quella di scrivere $$
\sqrt[29]{a} = \sqrt{a^{\frac{2}{29}}}
$$ e poi moltiplicare numeratore e denominatore per $$
\sqrt{b} - \sqrt{a^{\frac{2}{29}}}.
$$
Un'idea può essere quella di scrivere $$
\sqrt[29]{a} = \sqrt{a^{\frac{2}{29}}}
$$ e poi moltiplicare numeratore e denominatore per $$
\sqrt{b} - \sqrt{a^{\frac{2}{29}}}.
$$
"minomic":
@Stellinelm: tutto giusto però serafila vuole razionalizzare, cioè togliere le radici al denominatore...
mi sembrava strano che ci avessi azzeccato ...
p.s. : buongiorno "geniaccio"
minomic, in questo modo elimini la radice quadrata ma non quella 29-ma.
Un modo per razionalizzare c'è, ma il risultato è così lungo da renderlo del tutto sconsigliabile; per brevità e chiarezza di scrittura pongo $x=root(2)a, y=root(29)b$. Vogliamo che a denominatore scompaiano entrambe le radici, e per questo devono essere elevate a $2*29=58$; per ottenerlo ricorriamo all'accorgimento di moltiplicare per una frazione avente a numeratore e denominatore
$F=x^57-x^56y+x^55y^2-....+xy^56-y^57$
A denominatore si ottiene
$(x+y)*F=x^58-y^58=(root(2)a)^58-(root(29)b)^58=a^29-b^2$
Un modo per razionalizzare c'è, ma il risultato è così lungo da renderlo del tutto sconsigliabile; per brevità e chiarezza di scrittura pongo $x=root(2)a, y=root(29)b$. Vogliamo che a denominatore scompaiano entrambe le radici, e per questo devono essere elevate a $2*29=58$; per ottenerlo ricorriamo all'accorgimento di moltiplicare per una frazione avente a numeratore e denominatore
$F=x^57-x^56y+x^55y^2-....+xy^56-y^57$
A denominatore si ottiene
$(x+y)*F=x^58-y^58=(root(2)a)^58-(root(29)b)^58=a^29-b^2$
"serafila":
E' giusto come ho scritto: 29, non 2
Ho chiesto perché comunque mi sembrava abbastanza complicato per essere un esercizio delle superiori.
La risposta l'ha scritta giammaria: alla fine il trucco è sempre riportarsi ad un prodotto notevole che ha un risultato del tipo $a^k +- b^k$ dove, nel nostro caso $k=58$ e in questo modo spariscono entrambe le radici.
"giammaria":
per brevità e chiarezza di scrittura pongo $ x=root(2)a, y=root(29)b $. Vogliamo che a denominatore scompaiano entrambe le radici, e per questo devono essere elevate a $ 2*29=58 $; per ottenerlo ricorriamo all'accorgimento di moltiplicare per una frazione avente a numeratore e denominatore
$ F=x^57-x^56y+x^55y^2-....+xy^56-y^57$
E' piuttosto insolito come esercizio...!
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