Raggio sfera inscritta in una piramide

[Wolowizard1]

Qual è il raggio di una sfera inscritta in una piramide retta che ha per base un trapezio isoscele ? Ne ho bisogno per un problema di massimo... Considerando che del trapezio di base conosco tutte le dimensioni in funzione dell'angolo $ alpha $ adiacente alla base maggiore e del raggio della circonferenza inscritta nella base $ r $

[giammaria2]

Non ho mai incontrato un problema così e quindi non garantisco l'esattezza della mia soluzione.
Indicando con V il vertice e con M,N i punti medi delle basi, il raggio della sfera è uguale a quello della circonferenza inscritta nel triangolo VMN; ti occorre sapere anche l'altezza della piramide, mentre non servono i lati del trapezio e quindi nemmeno l'angolo $alpha$. Dovrebbe esserti facile continuare.
Avevo il dubbio che la tangenza della sfera alle facce passanti per i lati obliqui permettesse di determinare l'altezza, ma dopo qualche calcolo ho concluso che questa tangenza è conseguenza del fatto che il trapezio di base è circoscrivibile, qualsiasi sia l'altezza della piramide.