Radici pari e dispari dubbio da una capra in matematica
Buonasera, scusate ho un dubbio volevo chiedere questo: $x^(1/2)>0$ ; $x^(1/3)>0$.....quanto fanno? cioè cambia qualcosa se c'è al denominatore un numero pari e uno dispari?
perchè io mi chiedevo se $x^2>0$ da sia $x>0$ che $x<0$; invece $x^3>0$ da solo $x>0$ non dovrebbe esserci anche nella radice questa differenza?
Cioè mentre con la potenza pari ci sono due risultati, con la potenza dispari ce ne è uno solo.....con la radice invece comè la storia?
perchè io so solo che $ sqrt(4) $ da sia +2 che -2, mentre la $ root(3)(125) $ da solo 5.
mentre $x^2 > 1$ mi sembra che dia (-infinito;-1)(1;+infinito) e $x^3 > 1$ solo (1;+infinito) giusto?
grazie
buona sera
perchè io mi chiedevo se $x^2>0$ da sia $x>0$ che $x<0$; invece $x^3>0$ da solo $x>0$ non dovrebbe esserci anche nella radice questa differenza?
Cioè mentre con la potenza pari ci sono due risultati, con la potenza dispari ce ne è uno solo.....con la radice invece comè la storia?
perchè io so solo che $ sqrt(4) $ da sia +2 che -2, mentre la $ root(3)(125) $ da solo 5.
mentre $x^2 > 1$ mi sembra che dia (-infinito;-1)(1;+infinito) e $x^3 > 1$ solo (1;+infinito) giusto?
grazie
buona sera
Risposte
Allora distinguiamo i casi:
Prima di tutto $sqrt4=2$ e non $-2$, puoi dire che se $x^2=4$ allora $x=+-sqrt4=+-2$, ma non che la radice di 4 dà due soluzioni, perché la radice è una funzione e ammette una sola soluzione.
Poi il problema delle potenze non intere: se lavori con la funzione esponenziale allora $a^x$ esiste solo se $a>0$, ma ci sono i casi delle radici ad indice pari o dispari, se ti limiti alle radici, allora $root3x$ esiste per ogni x e assume lo stesso segno della x, quando x è positiva la è anche la radice, quando x è negativa lo è anche la sua radice.
Invece $sqrtx$ esiste solo per $x>=0$ e quando esiste è $>=0$.
Come vedi ho accuratamente evitato la scrittura sotto forma di esponenziale che crea problemi in quanto se provi ad utilizzare un qualunque programma di grafica e chiedi di rappresentare il termine $x^(1/3)$ questo viene utilizzato dal programma come un'esponenziale e quindi rappresentato solo per $x>=0$, mentre se è possibile chiedere di rappresentare $root3x$ allora il programma la rappresenterà sia per $x<0$ sia per $x>=0$
Prima di tutto $sqrt4=2$ e non $-2$, puoi dire che se $x^2=4$ allora $x=+-sqrt4=+-2$, ma non che la radice di 4 dà due soluzioni, perché la radice è una funzione e ammette una sola soluzione.
Poi il problema delle potenze non intere: se lavori con la funzione esponenziale allora $a^x$ esiste solo se $a>0$, ma ci sono i casi delle radici ad indice pari o dispari, se ti limiti alle radici, allora $root3x$ esiste per ogni x e assume lo stesso segno della x, quando x è positiva la è anche la radice, quando x è negativa lo è anche la sua radice.
Invece $sqrtx$ esiste solo per $x>=0$ e quando esiste è $>=0$.
Come vedi ho accuratamente evitato la scrittura sotto forma di esponenziale che crea problemi in quanto se provi ad utilizzare un qualunque programma di grafica e chiedi di rappresentare il termine $x^(1/3)$ questo viene utilizzato dal programma come un'esponenziale e quindi rappresentato solo per $x>=0$, mentre se è possibile chiedere di rappresentare $root3x$ allora il programma la rappresenterà sia per $x<0$ sia per $x>=0$
Grazie.....quindi per ricordarlo si può dire che funziona un po alla rovescia?
Cioè mi spiego meglio alla rovescia nel senso che se mi dicono di fare lo studio del segno di $sqrtx$ è $x>0$ perchè l'indice è pari.
$x^2$ $x>0$ e anche $x<0$ esponente pari
$root3x$ $x>0$ e anche $x<0$ indice dispari
$x^3$ $x>0$ esponente dispari
Cioè gli indici se sono dispari danno 2 risultati, se sono pari 1
Gli esponenti se sono pari danno 2 risultati, se sono dispari 1
Funzionano alla rovescia esponenti e indici no?
Se però mi viene chiesto l'insieme di definizione di $root3x$ (-infinito;0)V(0;+infinito)
Cioè mi spiego meglio alla rovescia nel senso che se mi dicono di fare lo studio del segno di $sqrtx$ è $x>0$ perchè l'indice è pari.
$x^2$ $x>0$ e anche $x<0$ esponente pari
$root3x$ $x>0$ e anche $x<0$ indice dispari
$x^3$ $x>0$ esponente dispari
Cioè gli indici se sono dispari danno 2 risultati, se sono pari 1
Gli esponenti se sono pari danno 2 risultati, se sono dispari 1
Funzionano alla rovescia esponenti e indici no?
Se però mi viene chiesto l'insieme di definizione di $root3x$ (-infinito;0)V(0;+infinito)
"mm1":
Grazie.....quindi per ricordarlo si può dire che funziona un po alla rovescia?
Cioè mi spiego meglio alla rovescia nel senso che se mi dicono di fare lo studio del segno di $sqrtx$ è $x>0$ perchè l'indice è pari.
$x^2$ $x>0$ e anche $x<0$ esponente pari
$root3x$ $x>0$ e anche $x<0$ indice dispari
$x^3$ $x>0$ esponente dispari
Se ti dicono di trovare l'insieme di definizione
$sqrtx$ è definita per ogni valore di x positivo o nullo.
$root3x$ è definita per ogni valore di x
$x^2$; $x^3$ sono sempre definiti, per ogni valore di x
Invece se devi studiare il segno allora
$x^2 >=0$ per ogni valore di x
$x^3 >=0$ per $x>=0$; $x^3<0$ per $x<0$; analogamente per le radici con indice dispari.
Per le radici di indice pari, non si verifica mai che siano <0
"mm1":
Cioè gli indici se sono dispari danno 2 risultati, se sono pari 1
solo se vuoi studiare il segno
Nell'ultimo campo diesistenza hai mancato lo zero.
Grazie, ma scusa per studiare il segno non si mette solo $>$ invece di $>=$?
E' uguale. Se scrivi $x^2 >0$ allora la soluzione è: ogni valore reale tranne lo zero. In pratica quando studi il segno automaticamente ti trovi anche la soluzione alla disequazione che non hai considerato. Comunque quando ti devi trovare il campo di esistenza, ad esempio di $sqrtx$ sbagli a considerare solo la disuguaglianza stretta perchè tu escludi lo zero dall'insieme di definizione. In quel caso devi porre $x >=0$
Il fatto è che rileggendola non ho capito ancora lo studio del segno di $x^3$
cioè se io devo fare lo studio del segno di $x^3$, faccio:
$x^3>0$ che mi da 1 risultato $x>0$
con
$x^2>0$ mi da 2 risultati (-infinito;0)V(0;+infinito)
insieme di definizione
con $x^2$ (-infinito;+infinito)
con $x^3$ (0;+infinito)
STUDIO DEL SEGNO DI
$ root(3)()>0 $ $x<0$ e anche $x>0$
$ sqrtx>0$ $x>0$
cioè io non capisco quando mi viene spiegato in questo modo del tipo:
''quando la funz esiste'' oppure ''per x<0 quando x è negativo'' cioè non capisco con ste parole perchè va a finire che poi inverto tutto, cioè volevo solo chiedere, per quello che ho scritto prima sopra, a parte il fatto che forse ci vuole il $>=$ e non solo $>$ dove ho sbagliato?
cioè se io devo fare lo studio del segno di $x^3$, faccio:
$x^3>0$ che mi da 1 risultato $x>0$
con
$x^2>0$ mi da 2 risultati (-infinito;0)V(0;+infinito)
insieme di definizione
con $x^2$ (-infinito;+infinito)
con $x^3$ (0;+infinito)
STUDIO DEL SEGNO DI
$ root(3)(
$ sqrtx>0$ $x>0$
cioè io non capisco quando mi viene spiegato in questo modo del tipo:
''quando la funz esiste'' oppure ''per x<0 quando x è negativo'' cioè non capisco con ste parole perchè va a finire che poi inverto tutto, cioè volevo solo chiedere, per quello che ho scritto prima sopra, a parte il fatto che forse ci vuole il $>=$ e non solo $>$ dove ho sbagliato?
Credo che tu faccia confusione tra studio del campo di esistenza e studio del segno. Sono due cose diverse. Cerco di spiegarti la cosa in maniera semplice.Quando hai un'espressione matematica in cui compaiono delle $x$, quindi delle variabili, ti devi chiedere per quali valori di $x$ ha significato. Questo lo devi fare sempre. In questo modo tu studi il campo di esistenza. La radice con indice pari ha significato solo se il radicando è positivo o nullo, quella con indice dispari ha significato anche se il radicando è negativo, quindi, ad esempio $root3(-8) = -2$, $root3(8) = 2$, $sqrt(4) = 2$, il caso con il meno non si pone neppure perchè non ha significato.
Tutto questo per quanto riguarda il campo di esistenza.
Lo studio del segno è qualcosa di diverso. Probabilmente tu intendi dire qualcosa ma scrivi qualcos'altro. Con la scrittura $x^2 >0$ mi dà due risultati, scrivi qualcosa di sbagliato. Forse quello che intendi dire è $x^2 = 4$ allora $x= \pm 2$, nel senso che sia +2 che -2 elevati al quadrato danno 4.
Devi stare attento a quando scrivi le cose in matematica
Tutto questo per quanto riguarda il campo di esistenza.
Lo studio del segno è qualcosa di diverso. Probabilmente tu intendi dire qualcosa ma scrivi qualcos'altro. Con la scrittura $x^2 >0$ mi dà due risultati, scrivi qualcosa di sbagliato. Forse quello che intendi dire è $x^2 = 4$ allora $x= \pm 2$, nel senso che sia +2 che -2 elevati al quadrato danno 4.
Devi stare attento a quando scrivi le cose in matematica
E ma se sia -2 che 2 alla seconda danno 4 perchè dici che ho scritto qualcosa di sbagliatto se dico che danno 2 risultati?
Insomma provo a rifare qui sotto l'insieme di def elo studio del segno per fav dimmi dov'è l'errore:
INSIEME DI DEFINIZIONE
con $x^2$ (-infinito;+infinito)
con $x^3$ (-infinito;+infinito)
STUDIO DEL SEGNO
di $x^2>0$ $x<0$ e anche $x>0$
di $x^3>0$ $x>0$
INSIEME DI DEFINIZIONE
con $sqrtx$ [0;+infinito)
con $root3x$ (-infinito;+infinito) da regola solo perchè ha indice dispari
STUDIO DEL SEGNO
con $sqrtx>0$ $x>0$
con $root3x>0$ $x>0$
Insomma provo a rifare qui sotto l'insieme di def elo studio del segno per fav dimmi dov'è l'errore:
INSIEME DI DEFINIZIONE
con $x^2$ (-infinito;+infinito)
con $x^3$ (-infinito;+infinito)
STUDIO DEL SEGNO
di $x^2>0$ $x<0$ e anche $x>0$
di $x^3>0$ $x>0$
INSIEME DI DEFINIZIONE
con $sqrtx$ [0;+infinito)
con $root3x$ (-infinito;+infinito) da regola solo perchè ha indice dispari
STUDIO DEL SEGNO
con $sqrtx>0$ $x>0$
con $root3x>0$ $x>0$
Tutto esatto. Vedo che hai capito. Prima avevi scritto $x^2 >0$ mi dà due risultati e non aveva molto senso. Così è più preciso, anche se è meglio scrivere $x^2 >=0$ sempre verificato invece di distinguere i due casi.
Ok grazie, il fatto è che a me un certo tipo di spiegazioni mi crea problemi, e purtroppo resto incompreso perchè se la prof spiega agli altri dicendo ''per quali valori....'' ''quanddo la funzione esiste'' cioè è anche vero che a me mi accusano di farmi delle ''scatolette mentali'' dove da li non se ne esce perchè in effetti mi facccio gli schemi in testa, cioè a me uno dovrebbe dirmi ''esegui sta roba....'' poi se non riesco e mi serve una spiegazione, la spiegazione stessa si rivela inutile se include dei ''quando'' ''per quali valori'' cioè bo mi creano casino....non so come rimediare
Se ti dicono "esegui sta roba", magari là per là riesci a fare l'esercizio ma non hai capito veramente. E quando si tratterà di risolvere qualche altro problema ti troverai comunque in difficoltà. La matematica ha un suo linguaggio che serve sia a capire quello di cui stiamo parlando sia a evitare errori di interpretazione, che invece incorrono se ognuno si esprime a modo suo. Se posso darti un consiglio, non imparare meccanicamente gli esercizi, leggiti anche la parte teorica del libro. Forse all'inizio ti troverai in difficoltà ma a lungo andare ne avrai un guadagno.
Va bene....volevo chiedere poi una cosa, sempre sull'insieme di definizione:
il fatto che $root3x$ sia da regola (-infinito;+infinito) ha un motivo?
perchè a dire il vero qst può essere una cosa che io so solo perchè l'ho imparata cosi com'è ma in realtà non saprei rapportare quella regola a un esempio pratico.
Non potresti spiegarmi proprio come mai è cosi?se io avessi un esempio pratico di qst cosa riuscirei a ricordarmelo anche meglio perchè viene più facile associare una regola a un esempio pratico piuttosto che impararsela cosi....
il fatto che $root3x$ sia da regola (-infinito;+infinito) ha un motivo?
perchè a dire il vero qst può essere una cosa che io so solo perchè l'ho imparata cosi com'è ma in realtà non saprei rapportare quella regola a un esempio pratico.
Non potresti spiegarmi proprio come mai è cosi?se io avessi un esempio pratico di qst cosa riuscirei a ricordarmelo anche meglio perchè viene più facile associare una regola a un esempio pratico piuttosto che impararsela cosi....
Chiedersi qual'è quel numero che elevato al cubo ci dà -27 significa calcolare $root3(-27)$ e il risultato è -3, perchè $(-3)^3 = -27$. Invece $root3(27) = 3$. Quindi come vedi, sia che sotto la radice metti un numero positivo, sia che metti un numero negativo viene fuori sempre un risultato. Invece non esiste nessun numero che elevato al quadrato ci dà -9, quindi non esiste la radice quadrata di -9
ok benissino grazie di tutto
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