Radici di un polinomio
Premetto che so svolgere unicamente le equazioni/disequazioni di primo e secondo grado.Ho preso il libro dalla prima pagina e sto leggendo .. adesso sono arrivato a questo paragrafo (le equazioni di primo e secondo grado ancora mai trattate) intitolato "radici di un polinomio" .
Vi cito cosa c'è scritto : "
Si chiama zero (o radice) di un polinomio P(x) ogni valore che,attribuito alla variabile x,rende nullo il polinomio. Un polinomio non nullo P(x) di grado n,a coefficenti appartenenti a R , ammette al massimo n radici reali distinte <--fin qui ci sono
Prosegue (e qui non c'ho più capito niente) : Se P(x) è un polinomio di grado n nella variabile reale x e se $x_0$ è una radice di P(x), diciamo che la radice $x_0$ ha molteplicità k,con k intero e $k>=1$ se P(x) è divisibile per $(x-x_0)^k$, ma non per $(x-x_0)^(k+1)$ . Sia P(x) = $a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +...+ a_0$ un polinomio di grado n a coefficenti interi.Se la frazione ,ridotta ai minimi termini , +/- p/q (con p e q naturali) è radice del polinomio P(x) , allora p è divisore del termine noto e q è divisore del coefficiente del termine di grado n del polinomio P(x).
Adesso,quello che mi turba più di tutto non è il fatto di non aver compreso questa cosa ma il fatto di applicarla agli esercizi .. vorrei anche comprenderla ma almeno gli esercizi li voglio fare XD
In un esercizio guida mi pone f(x)=2x^3 -9x^2+7x+6.
Devo determinare gli zeri del polinomio ..a questo punto non continuo a scrivere cioò che fa perchè l'ho capito però vi voglio chiedere : quand'è che questo procedimento è applicabile ?
Lui ricerca gli zeri del polinomio tra le frazioni +/- p/q dove p è un divisore di $a_0=6$ e q è un divisore di $a_n=2$ .. fa tutti i casi possibili (+/-1 ,+/- 1/2 ecc.. ) .Si calcola la funzione in quei punti e vede dove vale zero e basta XD
Ho capito cosa dovrei fare ma non quando ! Se potessi fare sempre così allora a cosa mi servirebbe tutto il procedimento per le equazioni di 3° grado che invece c'è ? Quand'è che posso fare così .. ?
Vi cito cosa c'è scritto : "
Si chiama zero (o radice) di un polinomio P(x) ogni valore che,attribuito alla variabile x,rende nullo il polinomio. Un polinomio non nullo P(x) di grado n,a coefficenti appartenenti a R , ammette al massimo n radici reali distinte <--fin qui ci sono
Prosegue (e qui non c'ho più capito niente) : Se P(x) è un polinomio di grado n nella variabile reale x e se $x_0$ è una radice di P(x), diciamo che la radice $x_0$ ha molteplicità k,con k intero e $k>=1$ se P(x) è divisibile per $(x-x_0)^k$, ma non per $(x-x_0)^(k+1)$ . Sia P(x) = $a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) +...+ a_0$ un polinomio di grado n a coefficenti interi.Se la frazione ,ridotta ai minimi termini , +/- p/q (con p e q naturali) è radice del polinomio P(x) , allora p è divisore del termine noto e q è divisore del coefficiente del termine di grado n del polinomio P(x).
Adesso,quello che mi turba più di tutto non è il fatto di non aver compreso questa cosa ma il fatto di applicarla agli esercizi .. vorrei anche comprenderla ma almeno gli esercizi li voglio fare XD
In un esercizio guida mi pone f(x)=2x^3 -9x^2+7x+6.
Devo determinare gli zeri del polinomio ..a questo punto non continuo a scrivere cioò che fa perchè l'ho capito però vi voglio chiedere : quand'è che questo procedimento è applicabile ?
Lui ricerca gli zeri del polinomio tra le frazioni +/- p/q dove p è un divisore di $a_0=6$ e q è un divisore di $a_n=2$ .. fa tutti i casi possibili (+/-1 ,+/- 1/2 ecc.. ) .Si calcola la funzione in quei punti e vede dove vale zero e basta XD
Ho capito cosa dovrei fare ma non quando ! Se potessi fare sempre così allora a cosa mi servirebbe tutto il procedimento per le equazioni di 3° grado che invece c'è ? Quand'è che posso fare così .. ?
Risposte
Non ho capito la domanda...
Quando devi trovare le radici di un polinomio procedi come ti è più comodo di volta in volta.
Quando devi trovare le radici di un polinomio procedi come ti è più comodo di volta in volta.
"Umbreon93":
Ho capito cosa dovrei fare ma non quando ! Se potessi fare sempre così allora a cosa mi servirebbe tutto il procedimento per le equazioni di 3° grado che invece c'è ? Quand'è che posso fare così .. ?
Lo si fa tutte le volta che si può (e non vedi metodi più rapidi, ad esempio il raccoglimento a gruppi o un'altra facile scomposizione in fattori), cioè fai sempre l'elenco dei possibili tentativi e calcoli se in qualcuno di essi il polinomio vale zero. Se trovi almeno un $x_0=p/q$ tale che $P(x_0)=0$, fai la divisione $P(x):(x-x_0)=Q(x)$ e scrivi $P(x)=(x-x_0)*Q(x)$; con lo stesso ragionamento puoi poi tentare di scomporre in fattori $Q(x)$.
Può però capitare che nessuno dei tentativi vada bene ed in questo caso concludi che non ci sono zeri razionali; la ricerca di quelli irrazionali può essere fatta solo ad un livello di conoscenze superiore al tuo attuale.
Posso quindi (anche se non sempre conviene) utilizzare sempre questo metodo (con successo) per ricavare le radici di un polinomio di grado qualsiasi ? Cioè , determinare i possibili candidati $x_0=p/q$ e andarli a sostituire per tentativi .Certo,se so fare l'equazione di 2° o 3° grado è inutile che mi metto a fare così , farei prima ad usare le formule o no ?
Altra domanda : la molteplicità come la riesco a vedere se tratto polinomi di grado superiore al 2° (non saprei come riscrivere i risultati di un polinomio di 3° grado mentre ,per esempio, di x^2 -4x+4 saprei dire che si può riscrivere come $(x-2)^2$ ) ?
Se ho $(2x-1) *(x+5)^5$ è ovvio dire che x=1/2 con molteplicità 1 e x=-5 con molteplicità 5 perchè (x+5)^5=(x+5)(x+5)(x+5)(x+5)(x+5) ma se avessi x^5 + 14x^4 + 2x^2 + 3 ,una volta trovate le radici per tentativi , come posso vederne la molteplicità ? Per i polinomi di primo grado la molteplicità di una radice è sempre 1 mentre per quelli di secondo grado posso dire che la radice ha molteplicità 2 se la soluzione è unica ma oltre come faccio ?
EDIT : esercizio --> determinare le radici del polinomio e la loro molteplicità :
x^4-x^2
Lo vedo che le radici sono x=0 , x=1 , x=-1 ..ma facciamo conto che volessi determinare i candidati $x_0=p/q$
Il divisore del termine noto è 0 mentre quello del coefficiente di x^4 è 1 . 0/1 = 0
Però lì ho altre radici ..come ha fatto ? Quest'esercizio viene dato prima di spiegare altro quindi deve aver usato questo metodo o no ? E allora perchè non mi torna
Ho trovato questo su wikipedia : Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0.
Forse è per questo che viene quel risultato ? Ma allora,se ogni numero intero è un divisore di 0 avrò infiniti candidati $x_0=p/q$ ad essere radici di quel polinomio ..sono confuso !
Altra domanda : la molteplicità come la riesco a vedere se tratto polinomi di grado superiore al 2° (non saprei come riscrivere i risultati di un polinomio di 3° grado mentre ,per esempio, di x^2 -4x+4 saprei dire che si può riscrivere come $(x-2)^2$ ) ?
Se ho $(2x-1) *(x+5)^5$ è ovvio dire che x=1/2 con molteplicità 1 e x=-5 con molteplicità 5 perchè (x+5)^5=(x+5)(x+5)(x+5)(x+5)(x+5) ma se avessi x^5 + 14x^4 + 2x^2 + 3 ,una volta trovate le radici per tentativi , come posso vederne la molteplicità ? Per i polinomi di primo grado la molteplicità di una radice è sempre 1 mentre per quelli di secondo grado posso dire che la radice ha molteplicità 2 se la soluzione è unica ma oltre come faccio ?
EDIT : esercizio --> determinare le radici del polinomio e la loro molteplicità :
x^4-x^2
Lo vedo che le radici sono x=0 , x=1 , x=-1 ..ma facciamo conto che volessi determinare i candidati $x_0=p/q$
Il divisore del termine noto è 0 mentre quello del coefficiente di x^4 è 1 . 0/1 = 0
Però lì ho altre radici ..come ha fatto ? Quest'esercizio viene dato prima di spiegare altro quindi deve aver usato questo metodo o no ? E allora perchè non mi torna
Ho trovato questo su wikipedia : Casi particolari: 1 e -1 dividono qualunque intero, ed ogni intero è un divisore di 0.
Forse è per questo che viene quel risultato ? Ma allora,se ogni numero intero è un divisore di 0 avrò infiniti candidati $x_0=p/q$ ad essere radici di quel polinomio ..sono confuso !
Verissima la tua ultima frase: se il termine noto è zero ci sono infiniti candidati. Non danno però alcun fastidio perché ti basta mettere in evidenza $x$ con un eventuale esponente e poi pensare solo al rimanente. Vediamo il tuo esempio predente:
$x^4-x^2=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)$
e quindi le radici sono $x=0$, doppia (cioè con molteplicità 2); $x=1$ e $x=-1$, semplici (cioè con molteplicità 1).
Per sapere qual è la molteplicità degli zeri di un polinomio bisogna scomporlo in fattori. Lo esemplifico con $P(x)=x^3+x^2-x-1$, lavorando in due modi diversi.
1) Col raccoglimento a gruppi
$P(x)=x^2(x+1)-(x+1)= (x+1)(x^2-1)=(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)(x+1)^2$
Ci sono quindi le soluzioni $x=1$, semplice, e $x=-1$, doppia.
2) Con Ruffini
Vedo che va bene $x_0=1$, quindi divido per $(x-1)$, ottenendo come risultato $x^2+2x+1$. Perciò
$P(x)=(x-1)(x^2+2x+1)=(x-1)(x+1)^2$
La conclusione è identica a prima.
Rimprovero
Hai superato i 30 messaggi e l'uso del codificatore ti è obbligatorio in tutte le formule e non solo qua e là. Posso chiudere un occhio di fronte a scritte come x=1, ma non quando ci sono esponenti.
$x^4-x^2=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)$
e quindi le radici sono $x=0$, doppia (cioè con molteplicità 2); $x=1$ e $x=-1$, semplici (cioè con molteplicità 1).
Per sapere qual è la molteplicità degli zeri di un polinomio bisogna scomporlo in fattori. Lo esemplifico con $P(x)=x^3+x^2-x-1$, lavorando in due modi diversi.
1) Col raccoglimento a gruppi
$P(x)=x^2(x+1)-(x+1)= (x+1)(x^2-1)=(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)(x+1)^2$
Ci sono quindi le soluzioni $x=1$, semplice, e $x=-1$, doppia.
2) Con Ruffini
Vedo che va bene $x_0=1$, quindi divido per $(x-1)$, ottenendo come risultato $x^2+2x+1$. Perciò
$P(x)=(x-1)(x^2+2x+1)=(x-1)(x+1)^2$
La conclusione è identica a prima.
Rimprovero
Hai superato i 30 messaggi e l'uso del codificatore ti è obbligatorio in tutte le formule e non solo qua e là. Posso chiudere un occhio di fronte a scritte come x=1, ma non quando ci sono esponenti.
Grazie mille ,tutto chiaro 
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